Arithmeticae practicae breuis institutio. : In qua noua ratio diuidendi per tabulam Pythagoricam et alia non passim obuia explicantur

(2)g/jv

ARITHMETICA

PRACTIC A

BREVIS INSTITVTIO.

IN QVA NOVA RATIO

dividendi per tabvlam

PYTHAGORICAM ET AL.IA°
non paffim obuia explicantur.

O PERA

c AROLI A LJPER TIl

£Monienfis e Societate Ie s v.

ftib Circino Aureo,

A H N O 1610 ,

1

; IWENTVTI

MATH EM a T V M S T V D I O S'M

In Academia Duae ena.

*

B - ROPRIA quadam laus eflnoffr^

Mathematica , luuenes x_Acade -
tfctesigS miri, quo da pmdpijs ,

phci ffrms exorfa , in rerum dif-
ficillimarum cognitionem rehd,
deaucat; exteris intenm difiip linis ab effeci ts
fienju notioribus -M principia. '&-C4ujJas, (fi ab
his ad effeci a longo duciu regredientibus-. ifio-
ftris proinde in fcholis i^frithmetica, qua ma-
gnitudinem ab omni fitufir pofitione liberam
contemplatur , Geometriam,, magnitudinum (fi
partium jitu iam conflriciam , vt natura or di-
te (fi i dignitate , ita etiam doctrina methodo
antecedit, 7peque vero hoc fiso tantum iure ra-
tiocinandi facilitas eat eris CMathematicte par-
tibus anteit , fed mulio etiam magis quod ea-
rum nonnullas velati mancipio fibt habeat ad-
dictas j extera autem quidquid prxfiant , idem
ipfa expeditius confici at prfferritn fi exquifitf
timam illam <Mnthmeiicx vim adhibeas , qua
A lgebrarn dicunt . Jfftid enim ngtmeris planis
& cubicis, numerorumque radicibus non mon-

A a fin .

4 . I

j hamus , quod aut figurarum beneficio, aut Ste-

reometrta ducere GeometerpojJitf Sed quam il-
lud admirandum, aUrorum comterfiones , mo-
tuumque periodos paucis numerorum tabellis
ita cemprehenfias teneri , vt c&leiies illas cho~
reas ad numerorum modos & harmoniam gref
fus componere , & moderari cogamus ? Cum igi -
tur dificiplinas Mathematicas via ac ratione
tradere conflituifiem, vifum eft in primis bre - j
uem hanc Arithmetica praxim adornare , qua
non tantum ad reliqua capefienda Mathemata
viam pramuniret , fedad omnem vita vfium,
adpriuatas publicas % rationes prodefc pofet.
Jpuid enim homine illo impolitius atque ad
omnem vitam ineptius 5 qui neque dati accep-
ti^ rationes fubducere , neque numeros aliquot
po jjit in digitos cmiicere-. Porro quod attinet ad
iam multiplicandi par tiendique rationem, qun
fit tabelk Pythagorica beneficio , non eo confiilio
efi propofita, vt methodo vfiitata reliclapaffiim
'vfiurpetur.neque enim aut tabella illius fiegme-
ta fiemoer erunt ad manum, aut ab huiujmodi
adminiculis pendere <_ Arithmeticum decet ,
Sentietis tamen non paruum temporis , opera-
que compendium ab ea praxi ( quod ego non
femdfim expertus ) fi quando arca triangulo *

rum

rumprxfertim Sphxrkerum, calculum logx at-
que impedit x diuijiones erunt peragenda . Deus
Opt. Max. Uberem hunc meum vobis vti-.
lem e (de iubeat, cui CtuAip ' hac, exter aque om-
nialubens merito dico atque conjeero.

FACVLTAS R. P. PROVINCIA*

lis Societatis Iesv.

E Go infra feripeus Societatis Iesv Pro-
uincialis in Prouincia Gallo- Belgica
iuxta priuilegium 1 Sereniffimis Principibus
noftris Alberto & Isabelea eidem
Societati noftras concefTutn , quo omnibus
prohibetur ne libres ab eiufdem Societa-
tis hominibus compofitos , abfque Superio-
rum peoniffione imprimant; facultatem do
Baltazaro BelleroTypographo Duacenfi, vt
librum cui titulus eft,Comroentarius in prio-
res fex libros Elementorum tuclidis, Sc In-
ftitutiones Arithmetica: pra&ics Caroli
Malapertii e Societate I es v,ad Sex
annos proximos imprimere & iioere diftrN
buere poffit.

Datum Tornacip. Nouerobris x<5ip.

Florektivs de Montmorenci.

A 3 APPRQ-'

£

6

APPROBATIO .

I N hac Arithmfe^cas p.ra&ics Inftitur
tioneR. P. Caroli Malapertu
nihil eft cjuod fidei catholica^ aut bonis
moribus aduerfetur.

Atium Duacidie 18, Feoruarij i&io*

Georgivs Colvei; £ JM V s
S. Theologi* B scior & profefi$r,<& libro-
rum in f^dcadeini* Du&cena, Cenfor , -

ARITH-

ARITHMETICA
PRACTICiE BREVIS

INSTITVTIO. '

• e De 'umerationcj .

C A P V T I,

Vmervm quemlibec expri-
munt Arithmetici vna vel
pluribus e decem notis fub-
iedis

Inter quasi vnum fignificat, 2 duo, f
tria , & fic ordine deinceps vfque ad
qua: fignidea* nouem : vltima vero cy-
fra dici folet, qus per fe nihil iignift-
cat , fed reliquis addita earutn auget va-
lorenuSolent etiam he notaj vocari Di-

giti *

Ordo notarum comunBarum.

Cum plures nota feu digiti iungun-
tur ad numerum aliquem conftituen-

V' ' A 4 dum

C *

$ Arithme. Practjcj®
dnm, ordo talis eft,vr prima iit qua; viti-
mo fcribitur,procedendo a dextra in fe-
ni Uram. Exempli caufaincumero 1620
prima nota eft cyfra o. fecunda i. &c.
Ratio huius ordinfseft, quod notte pri-
mq ad dexteram minus recedunt abv-
nitate, qu$ eft omnis numeri principiu;
& in plaerifque operationibus Arithme-
ticis incipimus a notis primis ad dexte-
ram vtmox apparebit. ;

Valor notarum coniunctarum -
Cum piures nota; ordine collocata;
numerum £onftituunt,qu^ primo loco
polita eft idem valet quod folitarie fum-
pta,liue, fignihcat fuum limpiicem nu-
merum inna decem fecunda vero lig-
nihcat fuum numerum decies ,• hoc eft,
valet decies tantum , quatum valeret fe-
orlim accepta; tertia lign^cat fuum nu-
merum centies, quarta millies, quinta,
decies millies, fexta centies millies, fep-
tima decies centies millies , feu millies
millies; Scita de ceteris li piures fuerint,
augendo decuplo lemper valorem cu-
iulquenote fupra valorem proxime prae-
cedentis . Exempli caulla in numero

3 6 '-4

Jnstitytig^

4. nota prima 4 fignificat quatuor,
quantum fignificat feparata, fecunda 1
fignificatviginti,decuplum fcilicet eius
quod valeret folitarie-fumptaj tertiat
fignificat centuplunWui numeri, hoc eft
fexcenta, quarta^ fignificat millecuplu
fui numeri (eu tria millia ; totufque nu* 3
merus eft tria millia, fexcenta, viginti»
quatuor. Item numerus 6 04. fignificat
fexcenta & quatuorj^ao^. triginta mil-
lia ducenta & fex &c,

Praxis pro numeris maioribus.

In magnis numeris, qui propter mul-
tarum notarum feriem difficulter com-
prehenduntur & enuntiantur,diftingue
ternas quafque notas virgula interiedta,

& ffiias in primo ad dextram ternario ef-
fe vnitates ; in fecundo millia; in tertia
millia millium feu milliones ; in quarto
millia millionum; in quinto milliones
millionum. &c. Exempli caufla
E D C B A.

25,^85,604,256,720.

In primo ternario Afunt feptingente
\iginti vnitates ,in fecundoB ducenta,
triginta fdt miiiia , in tertio C funt mii -

lic-

C

10 Aritms; Practic^
liones.in quarto D millia millionutn,
in quinto E milliones millionum &c

E D C B A.

25,48^04, z 36 3 7 »o.

Talis ergo numertssilc eftenuntiandusj 1
viginti quinque miliiones miliionum, 1
quadringenta octoginta quinque miliia
millionu, fexcetiquatuor miiliones.du-
centatriginta iex millia 3 feptiagenta vi.
ginti. • •

Nequeeftquod refugiamus vocemiL
lam barbaram Millio , cum apte expri-
jnat 5 quod alias moleftarepetitionemil-
iiumiit iignificandum. Valet ergo vnus
c Millio idem q uod decies cetena millia,
feumilliesmille:vt Millio aureorum (ut
decies centena millia aureorum 5 feumil-
Jies mille aurei.

De e Additione .

C a p V t 1 r.

A Dcitio eft plurium numero- ,
rum in vnam fummam collectio.

1? R AXIS I.

Cum plures numeros in vnum voles
colligere, feribe numeros abdendos V-
aum fub aiio, aotis fibi correipondenti* t

' bu*. - 1 ■

•I H S T I I -V T 1 oi 31
ribus. Quod fi nameri non conflent pa-
ri multitudine notarum, fctibantur pri-
mas nots fub primis, itavt vacuitas ap-
pareat verius finiflramv V t fi dentur nu-
meri A,B,C,D. collidendi in vnatn fum-
mam, fic difponentur. -■

5 7*5 A
827 1 B
/iC

iao(?9 E Summa
P R a x i s II.

Numeris apte collocatis. & lineola
fubdudta qua diflinguatura fumma col-
ligenda, incipies in vnum colligere pri-
mas notas omnium numerorum, hoc
modo; ? & 2 iiint quinque, quinque & 1
funt fex, fex funtp, quas fubfcribis
pro prima nota fummeE, collocafq; di-
recte fub primis notis numerorum cbl-
leCtorum. ■

Pe a x i s III.

Cum numerus exvna feriecolle&us
pluribus notis conflat, prima tantum
- fub-

9

»1 ^ A R it H e 7 PraCTiC^e
lubicribiturin fumma, altera vero men*
te feruatur , lungenda cum notis feriel
fequentis. Vtin eodem exemplo ficper-
gis ad fecundas notasr / &7 funt 85 o&o
& s funt liquem numerum vides gemi-
na nota conflare ,• flibfcnbis ergo prio-
rem qua: efl &pofteriorem 1, mente

/eruas; ac pergendo ad tertias notas di-
cis;* & t quod mente feruo, funt tria, tria
& 7 funt 10: lubfcribis ergo o & feruas t.
Denique progrederis ad vltimum ordi-
nem &dicis;<f& 1 quod feruo funt no-
uermnouem & y funt/^qug integra fub-
fcribis: femper enim vltima colledio
fubfcribitur integre . Fit ergo fummaE
14 0 * 5 ».

57 *J A

S 2 7 I B 1 G

11 C ~Tf~

14065 E Summa
Examen I.

Cum explorare voles an rede abfolu-
taflt additio, colligein vnum quocun-
que placuerit ordine notas fammae, &

abiice 3

, J K S T 1 T V T I 0. J|

abijcenouem quoties fupra ? numerus
excrefcic; quod vero poft vltimamabie-
ftionem fjpereft, an nota. Idem fac per-
carreao notas numerorum additorum»
& fi poft vitiaram abfedionem ipforum
nouem , totidem manent quot mane-
bant ex fumma, refte habet additiofa-
Cn fecus, male, Vtin fuperioreexe-
plo percurrendo liimmam ,4 & 1 (une
j, * & 6' funt 11, & abieftisp fune a, cum-
quenihn iupeiiic nili cyfra & <? quarfunt
abijcienda 3 annoto a vbi F. Similiter ab-
ijcio^ ex notis numerorum A,B,C,D.&
deprehendo poft viciniam ahiectionem
manere etiam a, qua: noto vbi G,& colli-
go recte peraftam effe additionem.

Examen IL

■^Subtrahe vnum quemlibet numerum
puta A ex fumma E ( vt docebitur capi-
te fequenri ) & quod remanebit iunge
per addirionemad reliquos numeros B,
C,D: nam fiiegicima fuit prima additio,
prodibit iterum fumma E, in hac fecun-
da additione,.

t'4 Arithmi. P f. a c t r c &

De Subtraciione.

CapvtIII.

S Vbt r ac tio-pUI minoris numerie
maiore fubdu&io. Interueniunt ergo
tres numeri in hac operatione . Maior
ex quo fit fubtra&io , Minor fubtrahen-
dus , & refiduus qui manet poft fubtra-
ftionem.

PRAXI S L

' ' . • ~i

Colloca numerum fubtrahedum fub
maiore, primis vtriufque notis fibi refpd'
dentibus vt in Additione, praxf prima
diximus . Vt fi ex z^Jubtrahenda fint
jjoita ftabit exemplum. )

2 40. A Maior numerus
30. B Subtrahendus

Tio. C Refiduum

Praxis II.

^Numeris difpofitis & lineola fubtenfa
aufer primam notam numeri fubtranen-
di , ex notis defupcr reipondentibus,

hoc modo, cvtra fublata ex cyfra ma- ..

' net.

net nihil feacyfta , ' 4 ‘pri^s notis in
e notanda. Deinde/ ex 4 relinquunt 1
quod noto fuoloco,- ac denique quiaex

yitima nota maioris numeri nihil eftfub-

tr actum ea in rcfidtfc (eribitur integra.
Ut ergo refiduum 1 10.

Pr a xi s IU

Curii nbta aliqua, numeri fubtraherr-
di aurerri nequit ex fuperiore correfi
pondente in maiore numero, decem
inutuo iunt Tumenda ex nota fequentij
> deoque iequens nota minor vnitatee-
rit eftimanda quam re vera iit . Vtin ex-
emplo adiuncto iic procedes. 7 ex tfan-
j.ernnonpofTunt; quare accipio mutuo
f nitatem ex nota iequenti qu seftaSc
ex 1 5 reiinquunc <? qusiubfcribcL

46 A

zj B

T7c

Deinde 2 ex/ ( nam propter commo-
datam vnitatem 4 fiunt/) relinquunto
qus Tabfcnbo &c fabta eit iubtratho.

Pcrin?

36 Arithmi.' Practica
Perinde feceris flue propter deceni
afifumpta mutuo, minuas fequentem no-
tam numeri fuperioris vt iam factu eft;
liue notam fequentem numeri fubtra-
hendi augeas vniute.V t fi exempli cauf-
fa ira procedas. 7 ex 6 non pofifum; tra-
ho initura io & manent^ cumque ad«
ditis & 6 fiunt 9 fubfcribeda. Deinde prop-
ter alfumpta 10 fequens nota 2 fiti quas
iuhtra£ta a 4 relinquunt /. Eftquehasc
praxis fepe priore commodior vt appa-
rebit in ipfovfu.

Similiter affumes 1 o fi occurrant vna
vel plures cvfre ia numero maiore 3 ex
quibus nihil poteft iubtrahi; donec ve-
nias ad notam fignific atiuam cmdetra

hetur vnitas propter decem aflumpta.
Verbi cauffa in hoc exemplo fic proce

des.

800057
z 1 6

A

B

y Q 9 8 2 I C

<ra 7 relinquunt 1 ; i a i relinquunt i-
Nunc vero quia a cy Ira nihil P° c
fr-bi accipio cy fram quafi 10, & 2 aure

te ndo ex .«maneca. Amplius qu.a^-

* * x 5 t 1 T V t -I O. 17

puens cyfrapro decem fftiman da effer-
lunc autem mutuo affumpta decem, fu-
menda erit cyfra pro ?, & i p / a 9 fubfcri-
beda^demque rutius faciendum pro fe-
quenti & fiubferibeS3afimiIiterj?. Viti*
ma vero nota qu^eft 8 pro feptem ac-
cipienda eft,& fubicribenda 7 , ficque^
perfe&a cft. fubtra&io. <

Examen J.

Abijcep quoties potes exmaiore nu-
mero A. fimiiiter exduobus reliquis nu-
meris B & C:quod fi cx maiore numero
idem manet, quod exduobus reliquis

umul fumptiSjbonafuitfubtradio.Vtih.

exemplo proxime allato.nihil xnanetv-
trobiqucjvn.de colligas recte inftitutam
operationem.

Examen II.

Codigein vnum per additionem nu-
merum detrahendum B,& refiduum Cj
eritquefiimma additionis numerus ma-
• lor A, fi bona fuit ante fiabtra&io . Idin
exemplo videre licet.

V»

215. B
79pSii C

~A

*

i8 Arithme. Practic^

De ^Multiplicatione .

C A P V T IV.

Vltiplicatio eftfumptiov'-

jL V JL nius numeri toties , quoties in al-
tero continetur vnitas. Vt multiplicare
6perquatuor, eft toties fumere 6 quo-
ties vnitas continetur in 4. Quatuor au-
tem genera numerorum occurrere pof-
funt in vna multiplicatione: A numerus
multiplicandus, B numerus multiplicas,
C produdi partiales , qui interueniunt
cum multiplicans conftat pluribus no-
tis, D produdus totalis.

Praxis I.

Vtrum voles numerorum qui inter fe
multiplicandifunr, colloca fuperius, &
infra alterum notis primis fibi refpon-
dentibus, vt in additione & fubtradio-
ne praxi 1. Commodius tamen erit ma-
iorem e duobus numerum facere fupe-
riorem, vt ii iint inter fe multiplicandi,
A per jt j B 2,4 ita ftabit exemplum.

j 1 5. A Multiplicandus.
14. B Multiplicans.

IksTlTVTIO. Z$

P R A X IS II.

Multiplica primam fuperioris curri
prima inferioris, & dic; quinquies 4 fune
20, fubfcribisergo d^rferuas 2 vtinad-
ditione.Pergis pereandem notatn infe-
rioris multiplicare fequentes fuperioris,
& dicis rquater 1 funt 4,& duo, qua; feruo ‘
funt^qute fubfcribis. Amplius, quater 3
funt I2,quxvltima multiplicatio eft per
primani notam,& integra fubfcribenda.

Similiter per fecuodam notam ipfus
B,qus eft duo, multiplicas notas omnes
numeri fuperioris, & dicis bis 5 funtioj
feruo igitur 1 & feribo cyfra fub ipfa nota
multiplicate r,non fub j;quod diligerer
eft cbferuandu : femper enim quod pro-
dit per prima vnius note multiplicatio-
ne fub ipfa nota multiplicate feribendu
eft. Deinde bis 1 funt 2 & vnum quod fer-
uo faciunt/. Denique bis j funt fex qua:
fubfctibo.

His peractis colligo productos par-
tiales per additionem in fummarn
perafta eft multiplicatio.

B ^ Pra-

S.0 v

RITS1IE, PrACTICjS

P R A X I s III.

Si occurrant cyfras initio numeri mul-
tiplicantis, aut multiplicandi, aut vtriuC
que, omittendas «rxmes erunt, &infti-
tuenda multiplicatio vtii abeifent. Ve-
rum poffc multiplicationem omnes y-
triufque numeri apponedf funt ad pro-
ductum. Vt in exemplo fubiecto,du^cy-
ftx multiplicandi , & yna mulriplican- -
ti$ additas luntad produ£tum totale,

32.600

/40

1304

978

1/084000.

P R A X I S IV.

Si occurrant cyfrae interpodta: alijs
notis numeri multiplicads,poflunt pr^-
teriri.Memineristamen productum per
multiplicatione not£ iequsntis debere
retrocedere, nec efle collocandum fub
eytra, quod vides obferuatumin exem-
plo fubie&o, vbi<f in producto iecundo J
partiali ponitur fub z,non fub 9.

t

! g s TI t V T S ei 2,2

4

zo6

2538

87158

T R A X I s F.

Si erunt cyfrat in medio numeri mul-
tiplicandi, eo inprodudfco notabunturi
niu forte aliquid manferit ex prioris no-
tg multiplicationequod loeo eyfro no-
tetur. Vtrumque obieruare licet in adie-
eto exemplo ; nam prior cyfra numeri
multiplicandi notatur in produ&o; non
autem pofterior, quia ex multiplicatio-
ne not<g procedentis aliquid ieruabatar,
quod notatum eftloco eyfro. *

C

V 1 / §oio,z

A f

f & \ 3224-0$

D

1 " ®

4 1

TPraxi $ FL

Si quando Tyronibus non ita prom-
ptum eft colligere quem numerum fa=

B 3 siann

ii Arithme. Pract.ic4
ciantduatnotaz inter (e multiplicat^, pu-
ta fexies 7, odies 9 : vti poliunt hac arte,.
Scribatur vnanotafub 'altera vt A, B, &
ad latus notetur quantum vtraque di-
det a to,vtC 3 D 3 fion r.-xdiftantix C6 c
D inter fe multiplicetur, Tub quibus no-
tetur produdum , fubtrahatur denique
dillantia alterutra a nota altera cuius no
A 8\>o C

B D,

5 6

eft diftantia,ab ea in quam, qu;e per cru-
cem opponitur, vt C a B,vel D ab A,& re-
fiduum notetur &: habebitur quaditum.

Vt in hoc exemplo octies leptem funt
j< 5 . E alia praxis per tabulam Pytha-
goricam de qua capite fequenti.

Examen I.

Abijce 9 ex multiplicando, & refiduu
nota, idem fac in multiplicante , & per
refiduu huius multiplica refiduum nu-
meri prioris , ex produdo a utem abiice j
turfus 9 Sc refiduum annota. Ex fumma
deinde abiedisfimiliter^fi tantundem
■ • ‘ manes

I N S T I T V T I O. 2J

manet quantu fuperfuit ex produ&o re-
fiduorum , bona fuit operatio . Res fiet
clarior ia exemplo proxime allato , in
qua ex numero multiplicandopoftab-
ie£ta£ manent 7,qu£ 7 annoto in finiftra
parte crucisvbi A. Deinde quia in mul-
tiplicante non funt nifi 4 ex quibus no
poteft abiici^j ea ipfa^ fcribo in parte
crucis oppofita vbi B, Multiplico dein-
de 7 per 4 & fiunt 1 S,ex quibus reie&is 9
manet 1, quam notam pono in fuperio-
re parte crucis vbi C. Poftremo ex pro-
dudo abijcio fupereftetiam 1 quod
colloco vbi D. ac fimul quia «quales
numeri funt C & D intelligo re&e fa-
dam multiplicationem propofitam.

Examen II.

Diuideprodudu totale per multipli-
cantem numerum, & in quotiente pro-
dibit numerus multiplicandus , fibona
fuerat multiplicatio . Aut fi idem produ-
dumdiuiferis per multiplicandum, exi-
bitMultiplicans. Sed dediuifionedice-
cutcapite 6 .

24 ArITHME. Pr A CTICjE

DE TABVLA VTTHAG0K1CA
eiufque nono quodam 'vjnad om-
nem multiplicationem.

C A V-'V T V.

T ABVLAquamabau&ore Pythago-
ricam dicunt s eft feries numerorum
multiplorum fub luis fimplis ordipe
collocatorum 5 que quidem in infinitum s
vt numeriipiij pofFet extendi,fed pieru-
que non vitra 9 diducitur. In fupremo
igiturordine huius tabui* collocantur
not* Arithmeticas 1 , 2 . &c> vfqueadj?.
& fub lingulis ponitur duplum,triplum s
&cvfquead nouecuplu: quemadmodt:

2

3

4-

'5‘l*

7

8

9

2

4

6

S

to

t2

26

%S

?

6

9

22

«8

21124

2^

4

8

2o

24

2SI52

J6

5 l™>

20

26

J6

4c [45

6

**■

iS

24

42

4*|54

7

2 1

28

54

» y

5616?

8

t6

24

48

56

64 i 7 ~ ;]

9

27

H

64

65

^2! 8% |

yfas

I KS T I TYI I oi 2-|

Yfius tabula eft ad promptam multi-
plicationem duarum inter fe notarum
feu digitorum,- nam fi vnus queratur ia
laterali ordine AC & alter in fupremo
AB, defcendaturq; vhpiead feriemnot^
lateralis, in eaipia erit numerus produ-
ctus per multiplicationem illarum inter
fe notarum.Exempli cauiTa quero quoc
fint 8 in 9 ducta, feu ofties nouem. Acci-
pio igitur in laterali ordine S vbi C, St in
fupremo 9 vbi B Se fub hoc defcendo vf-
que ad ordinem ipfius C, hoceftvfque
ad D ibique inuenio 71 St hic eft nume-
rus quatfitus nam octies p fiant 72.
Atque hic vfus tabulg Pythagorica paf-
fim traditur. Eft tamen aEaqutedam ra-
tio per tabulam hanc pythagoricam
mobilem expedite admodum multipli-
cationem non duarum catum-, fed quot-
uis etiam notarum perficiendi : Mobile
autem hanc tabula voco fi excife effient:
fingufe columna, 8t a fe mutuo feparatas
tranfpcni prolubito poffentad quemuis
numerum in fupremo ordine coliocaa-
dummam fi columna AC St cetera; om-
nes aftent excifs poftem earum tranfpo-
v- fitione

i6 Autme,' Practic.e
fitione quemlibet numerum in ordine
AB collocare ; qui conftaret ijs notis
quas in ordine AB continentur; fed quia
numeri plerumque eafdem notas habet
pluries repetitas;of/6rtet plures efle pa-
ratas vniuicuiufque notx columnas, vt
beneficio huius tabula; mobilis quilibet
numerus in fuprema ferie poffit exhi-
beri.

P R AXI S I.

Fraparatio tabula Pythagorica mobilis.

Paretur ex ere, charta lolida, aut mate-
ria alia idonea lamina tenues & oblogx,
qu^ in nouem quadrata arqualia pof-
fint diuidi , ipfa vero quadrata fecentur
in duo triangula ductis diametris a fini-
ihra furfurum dextram. In fupremo de-
inde triangulo dextro fcribatur notaa-
liqua tabula Pythagorica?,&: fab ea om-
nes numeri multipli, vtfupra in tabula
A,B,C,D, factum vides.

Hoc cantu obferuabis, vt cum multi-
plum alicuius nota?excrefcet ad ioaut
vitra, fingulx no zx in diftin&is triangu-
lis fcribatur,vt apparet in typo fubie&o.

Cum

k S I I I V I 1 Q. v%

B

X

A i

1 1 5—"

/a.

A

7

A ^

A

/a
/ e»

A

x A

Ayi

77

Cum vero dux facies futuras fintin
quaque lamina, fcribenturin vna qua-
que duo digiti diuerfi.Exempli cauffain
vna fcribentur notas 1.2. cum fuis multi-
plis ordine defcendentibus,eritque fa-
cies anterior A, pofterior B. In fecunda
lamina continebuntur digiti 3, &S4. In
tertia, j & 6 ; in quarta/ & 8, in quinta
1> o, locis omnibus. Suffecerit vero fex
vniufcuiufque formas habere ad maxi-
mas etiam diuifidnes St multiplicatio-
nes peragendas . Erunt igitur parandae
•' . ' fex,

Aritme.' Practicj
fexhmilesprims AB, Ccxaliz fimilcs fe-
cunda &c. vt vniuerfimfint^G. Plures
qui parauerit, hoc erit ad omnem ope-
rationem inftrudior.

E A B C*b Parabitur

deinde angu-
lus redus in
quo diiponi
lamina poC
fint , vt apte
inter fe pluri-
um quadrata
redo ordine
refpondeant,
eiufdeqj an-
M guli latus v-
ivu in 9 areo-
■— las fecabitur
^ aquales lami-
adfcriptis numerorum
notis.vt hic vides notatum angulu EFG ?
m quofunt difpofitasquatuor lamellas

A,BX,a

naru quadratis,

i

I N S ? ? 7 V T I O,

Praxis 1L

Additio numerorum in tabula Pythagerhd,

O I quss exigua difficultas occurret in
multiplicatione par has lamellas, ea
erit in colligendis numeris cuiufique or-
dinis quorum numerorum additio fic
peragetur. Quia iuiluBUs ouadrata lami-
narum fpatia diametris diuidi, ideo cum.
piares coniungentur, ex dimidijs' ducrru.
ipatijs ffienc quadrangula ilis figar»
quas Geometr» Rhomboides dicunts
&qu»in vna huiufimodi figura conci-
nentur notas conflanda: fiuntin vnum,
cum numeri per lamellas diipofiriinv-
rsamfiummam erunt colligendi . Exem-
pli caufia in laminis A,BsC»D, iuperius
difpofitis fiunt in fiupremo ordine Rho-
boidestres, vnus in quo ell j.fiecundus
in quo 6, tertius in quo i. & totidem alij
fiunt infiequentibus ordinibus.

Cumergo voles addere in vnum nu-
meros cui ufiqu e o rdm i s,pu ca or di nis fe-
cundi HK,incipies a dextra iri fimilram-,
fieuex K m H procedendo. Habes igitur
in primo triangulo iuxta K notam Aque

jo Arithmi, Practtca

fcribis primo loco ad dextra : habesde- •
inde in primo Rhomboide a&i quas
notas coniungis in vnaiia & fiunt 3. In fe-
cundo Rhomboide funt 2 confequen-
ter feribenda, inffcrtio 4 & 1 que faciut
5, ac denique in vltimo triangulo eft 1
ficribendum vltimo loco, Eft ergo fum-
( ma ex toto ordine H K collecta z 5 6.

Quado autem note vnius Rhomboi-
dis vitra;? progreffie, non poftunt vnica
nota comprehendi, tunc, vt fit in Addi-
tione, feribitur etiam hic nota prior &
vnitas in mente feruata fequenti Rh5-
boidi aut triangulo adiungitur.Exempli
cauda fi colligantur in vnutn numeri
ordinis L M.Ex primo triangulo iuxta
Mcolligo4,- ex primo Rhombo, 8 & 6',
cpx faciunt j 4; feribo igitut4, & feruo
1. Deinde in fecundo Rhomdoide funt
$, &/ quodferuabamsut^, qu^adferibo:
in tertio Rhombo, 6 & 4 funt 10, feribo
cyfram & feruo i: deinde in vltimo
triangulofunt.r,&i quod feruabatn funt
Eft ergo fumma ordinis L. M. 60Q44,,
Hunc modum. colligendi numerosa
dextra in finiftramtamdiu tenebis , do-
nec

C

i n s t i t v t t ©: n

mtf nec modico vfu id coiequaris vtiam nu-
meri tibi non fmt per partes exfcribedi,
fed poffis prompte totum vnum ordine
legere, &ledum tranfcribere. None-
nim difficile eft a fini&ra in dextram pro,
grediedoadditiunculas illas mente per-
agere, & cum duo noto vitra io excres-
cunt, vnitatem refundere in Rhomboi-
dem aut triangulum procedens, Sicin
ordine HK leges quindecim millia du-
centa triginta fex, &c,

Praxis Iit.

Multiplicatio per hanc ta bulam mobilem.

Numetus multiplicandus coniti-
tuatur in fupremo ordine lamina-
rum : deinde lingulis notis numeri mul-
tiplicantis quoratur correfpondcns in
notis Romanis anguli EFG, na in eo or-
dine erit productum totius numeri per
quamuis notam multiplicati- Colligen-
tur ergo per praxim procedentem om-
nes numeri illius ordinis, & fub numero
multiplicante fcnbentur,vc iit in vlicata
multiplicatione.

I Res-

v*

$2 AuTHMS. PRACTIci

Res in exemplo
numerus 76 x 8
multiplicandus,
ergo in angulo 1
mellas A, B,C, Dfcqus ii- 6094.4

lum numerum multipli- 1 S 2 ?6

candum exhibent in fu- 2 i 3$0 6-

premo ordine..

Deinde in latere EF anguli EFG qutE-
ro IIX primam notam numeri multi-
plicantis, quaminuenioinL, ordo ergo
LM, eft multiplicatio totius numeri
7618 per|: Quare colligo per additione
praxis fuperioris & tranfcribo hunc nu-
merum,collocandum vt in multiplica- !
tionis forma vlitata. Poftea qu^ro in eo- J
dem latere EF fecundam notam nume-
ri multiplicantis quas eft 2, & tranfcribo
ordinem HK illi notas II refpondentem. J
Colligo denique partiales numeros pro- I
ductos in vnamfummam per additione I
morefolito,& perfecta eft multiplicatio, 1
ni fupra exhibetur.

erit clarior. ProponatuL *
P e f. 7 f'f

colloco , p

EFG ia- —

De Diuijtone.

C A j? V T \'I-

D I v i s i o eft partido numeri in a-
liquot Aias parces. Ad quam perfi-
ciendam tres numeri occurrunt, Diui-
dendus , Diuifor & Quotiensdta barba-
re vocamus numerum inuentum per di-
uifionem,<jui indicat quoties continea-
tur diuifor in diuidendo.

Pra xi s L

Numerum diuidendum, qui eit ne-
ceffario marior , fuperiore loco con-
ftitue,& fub eo diuiforern, notis finiftris
fibi refpondentibus , contra quem fadtu
eft: in praecedentibus operationibus. E-
xempii caufTa,i] cfiuidenda fint 78 .per tf".
diuifor 6 nbn fub 8 fed fub 7 primo col-
locabitur hoc modo. 7 S (

Quod ii applicando 6
diuiforem prinus none numeri aiui-
dendi, defuper refpondentes noncon-
ftituerent numerum maiorem ipfo diut-
fore, tunc diuifor non fub prima, !ed fub
fecunda nota primum collocandus eft
4 ' G vt fi

?4 Arithme. Practic^ f

yc fi erunt diuidenda at 6 per 6. itaftab% s

exemplum. u6( j

6

TuAxrs 11.

Numeris rite politis aduerte quoties
diuifor contineatur in notis libi fuper-
pofitis, & quoties continebitur tantum
numerum , colloca poft virgulam curj
uam qui locus eft Quotientis.Numqua
autem diuifor in numero fuperpofito
continebitur plufquam nouies.ac prop-
terea Quotiens numquam eritponen-
dus maior quam 9 • Deinde per Quotis-
tem multiplica diuiforis frnguias notas
( fi plures fuerint) 5e produdum fubtra-
he ex notis numeri diuidendi quat iunt
fupradiuiforem, refiduoq; fupraealctem
notas diu-idendi numeri annotato tranl-

uerfa linea confige tam diuiforem quam

notas fupra politas. Vc in exempio alla-
co, primum quam quoties a/ mue-
nio efie ter , pono ergo 3 m 3

quotiete poft lineoiam cur- ( 3-

nam.multiplico deinde 6 per *

. z & fiunt ib, ( quae vel mente * *

* — rei i-

fubtra&is ex z\ manent 3 annotanda fu-
pra i, & confixis notis circa quas fuit o-
peratio, peracta eftdiuifions prima ap-
plicatio, Quatuor hie operationes viur-
pand^in diuifions continentur Oidine

in hoc verfu. : r

Jguere quotum, quo mult ipi’ ce i, dcinfiotra -

he, dele^.

Examenvofi Jin gulas applicationes

dmifiris.

Si inter operandum poft factam mul-

tiplicationem diuiforis per Quotiente
nonpofiit fieri fubtractio > nimis mag-
nus Quotiens eft acceptus , & iteranaa
operatio . Vt fi in exemplo fuperiore
£umpfifiem 4 pro Quotiente, mu^tipli'
cando 4 in 6 fierent 2.4* c l u ^ ex 21 detra
hi nequeunt. Alius ergo minor Quo-
tiens afitimendus. eft, nimirum j-

Si autem poft factam fiuotfaftionem

maneret fupradiuiforem maior nume-

I rusipfo diu liore, fcias furnp-tu efie Quo-

f tientemiufto mincremjqui error fi cen-

rigeret, diuifor quoties poterit fubtra-
^ o x r' ^ T>’.

?<S Arithme. Practicai ?j

'hi ex eo quod remafic, & quoties fubtra-^V
hetur totidem vniratibus augendus erit
Quotiens: vtfi eodem exemplo fump-
fiflem i pro Quotiente, operatio pro-
cefliffet vt vides,- & fupra diuiforem ma-
fiffent 9, qui numerus maior e fi; ipfo di*
uifore 6, quia ergo ex^> poteft
femel extrahi 6 , Quotiens t, 3
in^debet commutari, & ex 9
fubtradtis femel Emanebunt 6
3, eritqp correctus error.

‘Traxi s IU.

r

perafta & examinata prima apphca- .
tione , promoneatur diuifor vna nota
verfus dextram, qusratur Quotiens, nat

multiplicatio, fubtraaio, confixio nota-
rum vt prius: quo eodem modo proce-
detur ad csteras omnes applicationes »
plures erunt neceflarize, donec diuiior
viti m 9 note numeri diuidendi fuerit ap-
plicatus Vt in exemplo fupra adducto ,
promoueo diuifore , & qu^ro quoties 6
in 3 6 qua: fuperftat; inuenio aute conti- i
neri fexies, erit ergo Quotiens huius ap*

olicationis ^ quod adfcribatur P‘ l0!1

* - Quo- •

S H S T i T V T I o. St

' ' Quotienti. Deinde per Quotientem 6

multiplico diuiforem 6 , &
fiunt qux fubtra&a ex
$0 fuperpofitis nihil relin- ^ 5 w

quuntj confero igitur om-
nes notas,& manet Quotiensj^quiin-
dicat diuiforem 0 contineri t rigefies fe-
xies in numero diuidendoai^. atque a« J
deo fi fuiflentj.16 aurei in 6 milites par-
tiendi, vnicuique militi obtingerent jg
aurei.

Quod fi pofr vltimam applicationem
maneret aliquid fupra diuiforem, id iux-
ta Quotietem ponetur fupra lineolam»
infra vero collocabitur diuifor, vtfiat
numerus fraftus. Exempli
gratia, fi fuiffent diuiden- _ % , y

di 3i0 aurei in fex illos mi- ^ 15 3

lites, prima applicatio eo-
dem quo prius modo procefiifiet; in e
eunda vero fumendus eflet Quotiens f,
deinde multiplicando 6 in $ fiunt
qugfubtrada ex# relinquunt 5, pona-
tur ergo j fupra lineolam»& infra aiui or
0., eritque numerus fraftus decuodice-

JL wi- &•

C 1

Cura diuifor pluribus notis conftabic
eadem erit operadi methodus, nifi quod
.maior quadam cautio adhibenda eft in
deligendo Quotiente, & ratio habenda
non tantumvnius horas in diuilore, ied

etiam fequentium, curaquamimus quo-
ties diuiforin diuidendo contineatur.
Exempli cauda, fi fintdiuidenda 20T08
per 1 3 5 . Collocato diuifore fub diuiden-
do, poffem quidem primam notam di-
uiforis habere bis in nota fuperpofita, &
fumerepro Quotiente2, nifiperQuo-
tientem 2 totus diuifcr edet multipli-
candus, Pofse ergo multiplicare 2 in 1 ,

& fub trahe re ex 2 quasfuperftant ■, fed
cum deberem multiplicare 2 in 5, & m
^ eorum produ&a ex notis fuperpofitis
non poflent fubtrahi. Quare non poi-
fumfumere Quotientem 2 vt permittit -
prima nota, fed habenda ratio fequen-
tium, quse non permittunt me fumere
plufquam 1 pro Quotiente. Sumo ergo f
3 pro Quotiente & pergo, ac dico; 1 in >

funes, quas ex 1 fuperpolito fubtrahi no

P of "

Institvtio, 59

«hunt: traho igitur a io &: manent; quibus
adie&o i fiunt tffuperfcribenda: & quia
allumpfi mutua io, debeo vniratem de-
trahere ex nora fequenti qu^efto,-quia
ergo a cyfra non poffum, $
rurfus traho exio 8 c ma-
nent^fuperfcribenda: fed z^toS ( t
nota fequens 2 propter af- r <> %
fumpta/fffit f. Deinde pergo; 1 in 5 fiunt
3 quse fubtra&a ex 9 relinquunt 5 ; deni-
que 1 in xeft i)& fubtra£lum ex 1 nihil re-
linquit; manent ergo poft primam
applicationem abfolutam. P offet etiam
procedi hoc modpbreuius, 1 inyfunt
qu^fublataex 10 relinquunt 5, & addito
j, fiunt 6 fisperfcribenda; 1 in3fnnt9,
propter aflumpta/o fimt 4jquiE ex cyfra
tolli nequeunt, traho ergo. 66

a 10 & manenti: denique ^p ro s ( 1

iia 1 eft t, fedpropter af- ^
fumpta /0 fiunt 2, que ex 2
nihil relinquunt. Vides ergo iterurr.ma-
fiffe 66 . vt prius.

H^c methodus pofterior facit lustra*
tHonemiuxtapofteriorcrn partem pra-
xis ? cap.i.vbi propter ea monuimus hac
' 0 * * C 4 viatn

4° Arithme. Practic^ t
viam faspe efle expeditiorem, etfi pias a-^>'
liquid attentionis requirit. Promoueo
ergq. diuiforem vna nota, hoc eft , vt vi*
tima eius nota, quie eft in noftro exem-
plo eft y.promoueatur ad notamvlterio-
rem qua: eft in exemplo cvfra , reliquas
verofcribentur fub notis prima opera-
tione confixis. Promoto inquam fic di-
uifore, quadro quoties diuifor continea-
tur in notis ftiperpofitis, quas in exem- .
ploiunt 66 o, aduertoq; contineri qua-
ter Sumo ergopro quotiente 4 & dico,
^injfuntio, cvfra a cvfra nihil aufert,.
z a 6 relinquunt 4,1 a tfre- I2
linquit 5. Amplius 4 in 5
funtn, duo a 4 relinquut 66
Z)i a 6 reiinquit j.Deniq; Zpx 0$ (q
4 in 1 funt 4, quas a 5 re-
linquunn, & fic abfoluta ^
manet fecunda applicatio poft qua ma-
nent ii fupra diuiforem.

Venio ad tertiam applicationem , &
quiero quoties iq in 1208 quas fu perflat;
aduertoq, contineri odies , fumo ergo !
P ro Qnottente huius applicationis S SC
pcrgo.Sin; funt 40- cvfra ex S nihil tol-

V lis '

fum, traho igiturex ^

io & manent <f, vnde *

propter affumpta io, ^

nota z quat fequitur
fit r. Deinde,? in $ suc ^^g ( i 4 g »ff
24, 4 ex/f relinquunt
2, 2 ex i non polium, rf?
traho ex io& manent x

ir, quibas addedoi fiunt j?,& propter aflu-
pta io, nota / qua: fequitur efl: delenda.
Denique 8 in i funt 8 qua* ex s> relinquut
i .Sicq,- perada eft vltima applicatio poft
qua manent izS fupradiuilore.qua (eri-
genda fiunt fupra lineolam, vtfuppofito
diuifore fiat numerus fradus } quemad-
modum vides in exemplo.

P R AXIS V .

Si fada aliqua promotione diuiibris
fiipra diuiforem polita: notat ne iemel
quidem contineant diuiforem, in quo-
tiente ponatur cyfra,8e longius diuifor
promoneatur, nulla nota in dmidendo
expunda. Verbi caufia,fifint diuidenaa
yo5S>pera4 poltquamfada applicatio-

ne

.nuenio tantum fupra diui-
forem

r Aritme: p ^ct, c ^
ioremz^quxnefemel i

quidem continet diui- WfilJ ( 10
forem, ponoin Quotie-
te cvfram, & promo- 2

jUeq diuiforem. reliquaque perficio iux>
•taantedida.

Quod fi ea applicatio effer vltimaia
e qua iupra diuiforem inuenitur minus
ipto diuifore, ponatur r

vltimo loco in quorien- m , ( 20 , «

te cyfra , &not2? indi-
uidendo relide collo- V

cabontur vt fupra diftum eft in fuperio-
re parte numeri frafliquod vides in e-
xemplo.

Traxi s VI.

Sl _ ™a vel plurescyfra: fuerint in fine
omnoris , auferentur; tollenturque toti-
dem nonepoftremie ex diuidendo, &

inter remanentes notas peragetur diui-

uo.i\ ote aurem ablanc ex diuidendo ad-
dentur ad eas quas forte manferint pro
numero fraclo : aut fi nihil manfifTet/o-
ponenturin fuperiore parte numeri
4 racti,- cyfr^ quoque ablata; diuifori coq-

tuen-

V I K 3 T I T y T X o: 4 i

"^fti tuentur , cum quibus de more collo-
cabitur pro inferiori parte numeri £ra-
£li. Exempla vides hic fubie&a in quibus
n r

^oo #oo

r r

note cum -fubtenfis lineis auferende fant
antediuifionem,

‘Traxi s VII.

Si diuiforfit vnitas cum vnavel pluri-
bus cyfris, totidem prima: nots numeri
diuidedi erunt Quotiensquot funt no-
tas in diuifore, relique vero ponentur in
fuperiori parte numeri _ 9 ,_

' fra£li> vt factum vides ia 4 * 591 100

, SOO

exemplo»

Traxi s VIII.

Si fuerint cyfras in fine numeri diui-
dendi. St antequam applicari poffitdiui-
for ad omnes cyfras nulla remaneat no-
ta fignificatiua, cyfras re-
manentes addantur ad ^^'00(2400
• Quotietem, vt videre eft .,yy

in exemplo, in quo cyfras x

X

linea

44 Aritme. P r a ct i fi

inv.a lubdu&a notata adiects funt
cienti.

quo»,

Praxis IX.

Diuifie minoris numeri per maiorem.

Si quando cietur numerus minor per
maiorem diuidendus, facienda eft fra-
ciio, in qua diuideaus fupra lineolam, &
diuifor infra colloceturrnam hic nume-
rus mactus erit quotienspropoflt^ diui-
Jionis. vtfifint diuidenda 4 per 8 quo-
tiens erit peri 00 quotiens eritfss
de quorum valore dicemus capi. 8.

Quodergo poft diuifionem adiungi-
tur plerumque quotienti, noneft aliud
qua diuifio minoris numeri per maiore.

Examen I.

Reijce9 exdiuifare, Ee reiiduum no-
ta in finiflro crucis latere; reijce irem ex
<^uouente,& hoc refiduum cum priore
multiplica, produ&o iunge notas qu$
rupertuerunt, & ex ijs aufer etiam
quodque fupererit fcribe in fuperiore
P a * 5 e crucis - Denique etiam ex nurae-
diuidendo abijcej?,&reliquam in in- 1

feriore

I H S T ! T V T I O,

%

Ai i

x 7

*3S

54

ir

feriore parte crucis adficribe, quod fi ca
fuperioreconfentitredafuitdiuifio.Ex-
empium hic vides.

Examen II.

Multiplica inter fe diuiforem & quo-
tientem,& produdis partialibus iunge
notas relictas ex diuidendo , fi qux iu-
perfu erunt omnia deinde per additione
collige,& prodibit numerus diuidenaus
fi reda fuit operatio, quod obfieruareeft
fiuprafin quo exemplo nota: ai fiunt ex
diuidendo reiidte.

J$md faciendum cum numero ex diui-
Jione nliclo .

Dicemus quidem accurrate de nume-
ro frado cap. 8. quia tamen multi fra-
diones refugiunt vc ficopulos quofdanv

vano'

* 6 Arit.hme. Pr.act.ic i.
vano difficultatum metu exterric' ; lue
bet hoc loco oftendere quomodo* fine*
tractionibus reliquum illud diuifionis
poffit perfici. Numerus ergo integro-
rum qui relinquitur poft diuifiofiem,
y per tnmorem aliquam menfurarn eft
multiplicandus, & producto applican-
dus aiuifor, prodibit enim numerus
partium, qui fingulis vnitatibus diui-
fioris competit. Vt in exemplo exami-
nis, fac 696 fiorenos in zj pauperes ef-
fe diuidendos ,• obuenienx fingulis 2 7
fioreni, & fupereruntfioreni 21 diui-
dendi in eofdem pauperes. Cum er-
goln vnoquoque fioreno contineantur
20 afies, multiplicentur fioreni 21 per
20 a fies, fientque 410 afies, quos di-
uidopera/, &fi c quotiens 16 de-
bent ergo dari fingulis pauperibus 16
afiv-s poeter 27 fiorenos. Et quia ex
pofteriore diuifione manierunt 20 af-
fcs non diuifi, multiplico 20 afies peif
numerum denariorum qui in aife con-
nnentur nimirum per- 24., & fiunt^
oenanj , Hos diuido rurfus per 2^ fit
Quotiens ig | T quare praster fiore*

v nosr

f 1 I N £ T I T V T I 0,

..■4 *1 os & afles debentur infuper finguiis
pauperibus ip denarij , & fuperfunt
quinque denarij quos non eft opera:-'
pretium in 2j diuidere . Simili mo-
do procedetur in aliis menlurar gene-
ribus. Vc, fi erat ager viritim diuiden-^
dus in eodem illo exemplo, & manfe-
rintai pertie§ non diuife, pertica diui-
dctur in pedes, pes in palmos,, palmus
in digitos, & minoribus menfuri|. ap-
plicabitur diuifor, vc iam fecimus.

De Diuifions per mobilem tabidam
Pythagoricam

C A P Y T VII,

/T V l t o facilior elt diuifio per \g-
J \ i mellas tabula Pythagorica, qucr-
rum beneficio certius inuenitur Quo-'
tiens, in quo fere momentum honx
diuifionis eft politum , & error fi quis
contigeririfaciiius aduerritur & emen-
datura

£;

*

M -

1

^ S A ritkme, P r a c t i c

Praxis ^

Diuiforem colloca in fupremo ordi-
nelammarum.&fub eo defcende donec
occurrat numerus maior illo quam con-
tinent notaj numeri diuidendi quibus
applicatus eft diuifer nam quotus erit
ordo proxime procedens, tantus eritfu-
mendus.quotiens. quodfifub diuifore
nullus inueniretur numerus diuiaendus
maior quotiens eftj;, Numerus autem,
qui in orcime quotientis eft deferiptus
collocandus erit fub notis diyidendinu-
meti, & ab ijfdc m de more fubtrahen-
dus,refiduumque fuperferibendum fine
vda notarum confixione ,• neque etiam
opus erit diuiforem delere , facile enim
mente intelliges diuiforem promoueri
■a puncto fubfcripto,fignabis notam hu-
meridiuidendi ad quam diuifio perue-
nerit. Tota res exemplo fietmanifefta,
fint diuidendi 9257^ Philippici in
milites, laminas ABC contineres in ver-
tice diuiforem 317, vt hic vides colloca-
tas in angulo EFG quem parari fiipra
tufiimus. Deinde defeendo i"

V

i

~'<7

%. X

I R S T I

E C

1

/-»

/j

X

7

11

/6

X

X

m

/9

/

/X

X/

7 1

IV

X

/L

2/q
/ «

V

t/

/7

7

VI

\7

7 3

7

4 /

VK

2 /

/!

7

4/

/7

mt

-2/

/4

/6

7

IX

±/

/7

A

H.

F

^ .

G

T . V T I O.

fub diuifore, qusres
humerum qui pri-
mus occurret ma-
ior quam 9ij, qui-
bus notis primo di-
uifor appHcaturjin.-*
uenio autem maio-
rem in III ordine?
quotiens ergo eft
ordo proxime prat»
cedens, quare fuma
2. pro quotiente,- & C
fcribo numerum in
lljaierie Ilinuentu,
fub notis numeri dii

uidehai , a quibus fubcractione fa&a
remanent 3 xi. defuperannotanda.Intei-
ligo deinde promotum efte diuiforem
vfque ad 7,cui pun&um eft fuppofkum|
& quteroin laminis numerum maiorem
quam 3117 & nullum inuenio» Quotiens
ergo eft c> & hic ?!timus ordo eft fcribem
dus fubtrahendufque a diuidendo , qua
fubtra&ione fa&a, refiduum 2 . 64 - fupra
norabitur,in quo diligenter aduertes vt
iiot^tiotisdire&e fiediftin&e fuperpo-

D nantui

50 Arithme. Practic^
iiantur ne pariatur izj

confufio. Amplius roj~

intelligo diuiiorem ±6 4

promotum fub 5 & 311

quaero numeruma- 045738(2083 iri '
- lorem quam 2643 , 17...

&inuenioin IXor- “jj— '

dine. Quotiens ergo - § 5 5
eftS, cuius ordinis 2535
numerum tolio ex 55 r

diuidendoj&rema» 1 2 7 Examix

nent x 07, Demum $45738
promouetur diuifoE

fub 8, & quajro numerum maiore quam
«avSinuenioquein IV ordine: Quoties
ergo^eft 3 cuius numerum tranfcribo;
factaq; Tubtradlione remanent 127 pro
numero frado 5 & perada eftdiuifio.

Poffunt etiam fi ita videbitur not« nu-
men aiuidendi expungi, quando cum
illis abioluitur diuifit>,vt fit m vfirata di-
nidedi ratione , led eo modo quem pt£-
iuimus.melius diffinguntur finguls ope-
rationes & ficubi error obrepfifiet de-
piehenactur facilius. Quinimmo etiam
invulgata diuidendi forma magis pro-

barim \

JjiSTITVTIO. ^ ji

barim tyrones prius exerceri nuilis notis
cofixiSjVtfuoserroresaduerterej & cor-
rigere poSint expeditius.

Ex A M E N

Habet infuper id commodi hsc diur-
dendi ratio quod examen per multipli-
cationem expeditiffime perfici poteft.
Nam fi not^aliqus maferunt diuifione
perada,ea2 foribentur fub notis in vltima
applicatione fiibtradis, & numeri om-
nes fiubtradi colligentur per additione^
redibitq* infumma numerus diuidedus s
fmoeft erratu. Verbi caufla in exemplo
fuperiore fcribo 12.7 qute remanferant,
fub 95 r& colligo invnarn fummamom-
nes nuineros fubtrados inter operandui
reditque numerus diuidendus,quare le-
gitime perada eft diuifio.

Obferuabis autem cum primus quo-
tiens efi: r, tunc ipfum etiam diuiforem
debere colligi cum ceteris numeris fub"
tradis ; nam tunc ipfo diuifor eil vnus
numerorum fubtradorum. Cum vero
primus quotiens non eft 1 > diuifor non
erit cum ceteris in probatione colligem
/t 0 & diis.

p AMTHM5. PrACTICjS

dus, ideoque in noftro exemplo diuifoa
ab additione examinis eft exclufus da-
ita linea.

De numero fraSto,

Capvt VIII.

mervs fra&us , Minutia , feii

X_N fractio eftnumerus denotans par-
tes aliquot cuiufpiam integri. Vt yna fe-
cunda aliis, eft dimidiatus affisjtres quar-
te afiis funt tres quadrantes &e.

Sunt autem duo numeri in fraftione,
quorum vnus fcribitur fupra , alter infra
lineolam hoc modo j. Superior dicitur
Numerator, quianumerat quot partes
fumptacfint ex integro . Inferior dicitur
Denominator quia denominat & indi-
cat quales partes fumptsiintex integro.
Vt minutia allata \ eft vna fecunda^ h <ec
vero | eft tres quarta: &c s

quod ergo remanet poftdiuifionem
&: iuxta Quotientemadfcribitur, eft nu-
merus fra&us.Nam quia nota: remane-
res non potuerunt vltcrius per diuifore
diuidi, faciunt numerum fraftumcum
duiifbre, funque notie remanentes pro

I N S T I T' V T I O. 5J

numeratore §£ diuiforeft loco deno-
minato ris . Vt ex diuifione capitis 7 ma-
fit*numerusfra&usf||hoceft, centum
viginti feptem» trecentefimae decims
feptimaspartes vnius Philippici.

Mitimatio numeri fra&i.

Quando in fraCtione asquales fimt nu-
merator & denominator, ea fraCtio vni
integro asqualet, vt 144 vnius aflis asqui-
ualentaftiintegro.

Cum vero numerator denominator©
maior eft, tunc minutia plus eft quam
v num integrum, vt \ fime aflis cum di mi-
dio.

Cum denique numerator denomina-
tore eft minor , tunc fraCtio minus eft
quam integrum, vtl aflis funt tres qua-
drantes.

Hinc colligere licet numerum fractu»
refiduu ex diuifione femper efle minus
quam vnu integrum • nam in ea fractio-
ne diuifor eft loco denominatoris,& no»
tx ex diuifore remanentes funt nume-
rator. lam vero notas remanentes mino?

rem iemper numerum continent quam
diuifor, ouardoquidctain bona diuifio-

* « V j; ne

54 Art t hme. Practic^
ncfemper debetremanere nuraerusmiA
nor fupra diuiforem , quam fit iple diui-
lor. Scmpcr ergo in hac fradione nume-
raror e ft nainor denominatore 3 ac proin-
• de minus valet minutia quam vnum in-
tegrum.

S;c in diuifione capitis 7 manent

Debentur ergo militibus lingulis prs-
tct Philippicos 2983integros,debentut’
inquam przterea lingulis ^ vnius aurei,
hoceft minus quii dimidius Philippicus;
accuratius enim fradicnem sftimare
mox docebimus.

ALqumakntia numerorum fr aci orum.
^Equiualentes Minutisfunt omnes ilis
quorum numeratores eandem habent
proportionem ad fuos denominarores.
vt funtsquiualentes, quia in omni»
bus numerator eft dimidium fui dene-'
minatoris.

Prsterea quocunque numero multi-
plices aut diuidas vtramquepartem fra-
dionis hoceft tam denominatorem qua
numeratorem femper prodibit minutia
atquiualens. Veli minuriam f multipli-
ces per 2 procreabitur minutia squiua-

**% ^ lens

I N S T 2 T V T I O. 5S

Iens Ititem fi eandem fra&ionem diui-
das per z exibit minutia gquiuaies 5- -Ra=,
tio effiquod vtroque fra&ionis membro
per eundem numerum multiplicato vel
diuifo femper redeunt duo alij numeri
eodem modo inter fe proportionati fi<
cut priores# quare ex ijsconftituitur mi-
nutia priori squiualensfiuxta if. 5. EucL

PZAXIS I.

Redtieiiofsaclionis ad minores terminos.

Quia diximus per multiplicationem
& diuifionem vtriufque partis numeri
fra&fproduci etiam fradionem equma-
lentem , oblata difficili fradione s que-
rendus erit numerus qui perfecte tam
numeratorem quam denominatorum
diuidat s ifque numerus dici folet Com-
munis mcnfura .* beneficio ergo
numeri feu menfurse communis, rradio
reducetur ad aliam zquiualentem mi-
noribus numeris expreffiam, in quibus
proinde facilius eftimabitur vaior datfc
minutis . inuenietur autem hoc modo
communis menfura cuiuiuis fractionis.

Maior numerus per minorem dmi a ~
- n a sus

5 ^ Aft* thme. Pragtic^ s
tur, & fi quid manferitper hocdiuida'^

fn 7 r r <’ qUiantC “«diui.
lor, & fi rurfus aliquid fuperfueric ne-

finT Cum J midatur diuifor fecundsdfuil

fiotus, & n er relinnnm i-*.--.™ J: r

, _.!jertJ5, donec fiat diuifio qax nihil re Iin-

£“P'^ hu«s diuifionis di-
or,eritcptnuntsmcfura propofitefra-

aS»r qUe ? ediaid ““”^^

fiaSn » qUam , dcnominMor > prodibit

traftio atqumalens, minimis terminis

t*Z C 7 P ? hendi P ° Celi * cx P rcfra ’
Verbt caufli datur minutia |? quam ve-

Irra redigerp adminimos terminos. '

* 6

$% ( i

?? (2
*6

4S

per 1 6,

deinderf^h 4 ^P er ? 1 & manent 16 ,
tem ° C /^ eddliu P 1 diuido dtoHo-'

f tf dimfionis.fciiicet ja,& nihil
‘ r ’ ■ ^ c \n° dimforhums iteundx
filradal 1 ' 3 n ™‘ ? UI h 1 «■ communis mea"

^?mWtte 1 .id«o q „ed iai do„„.

metatorem ja per ,« & prodit numera-

^ferqnc diuifo

denommatore 4.8* per i dprodic 3 deno-

mina-

j^RSTITV. Tltti

minator mfnutiq cequiualentis. Eftcrgq
f minutia, priori |§- acquiualens.

Quodflincer querendum commune
menfuram non poflic deuenin ad diui-
fionem perfedam, qua: nihil relinquar
( cuius fignum erit ii ex aliqua diuifione"
maneat i,) tuc fruflra queritur commu-
nis rn en lura que nulla dari poteft, & nu-
meri fradionis illius erunt exijs,quos A-
rithmetici nominant numeros inter fe
primos; qui nullam admittunt commu-
nem menTuram. Vtdum tento reduce-
re ad minores numeros fractionem ca-
pitis feptimi, quce eft ~ diuido 317 per
127, fic manent <53, per qu<£ diuido izy &
manet 1 % nulla ergo efl menfura com-
munis iftorum numerorum raf, 3 i7;.fcd
funt inter fe primi, neque minutia exil-
iis conftans ad faciliorem reduci po-
teft.

Fit etiam nonnumquam vt quamuis
inueniatur communis m^p.fnrajea came
tam fit exigua vt fradio acquiualens per
illam produda, non multo iit priore fa-
cilior . Exempli cauffa iflius fradionis

poft multas diuifioncs inuenio cornu

jS As-itmb. Practic^

2i£m men/uramj per quam [iroduco aai=
nudam equiualentem f%-cuius valorern
difficile adhuc fu comprehendere. His
ergomoleftijs vteatur obuiam alia arte
erit vrendum, vt fequitur.

Prj.xis 11.

Reducito fractionum ad, partes decima ceu=
teJimaS' mille (imas (fc.

Commodiffimat funt fradiones in
quibus denominator eft io, ico, aut a-
lius numerus qui ab his in decupla eft
proportionetna & faciliores sut asftima-
tione iil$ minutia?, & additiones, multi-
plicationes, diuifiones haru inter fe, &
cum integris, fradionu funt expeditiffi-
m ?- Hara ergo fradio quadibet fic redi-
geturad partesdecimas &c. Ad numera-
tore addatur vna autplures ft opus fuerit
cvfr^.-fi enim vis partes decimas, ynica .
cyfra fufficiet. fi cetefimas, duabus opus
erit &c. Deinde numerator fic audus
diuidatur per denominatoremmam pri-
mus Quotiens qui lignabitur licera D,
indicabit partes decimas,, lequndus C,

~ _^4jS S T 1 T V T I o. $9

centefimasftertius M, milie{imas } quar-
tus DMj dedes milleiimas &c,quas cm-
nes iimui fumpts squiualebunt dats
minutis, Vtin exemplo fepius adau&o 3
inanierunt vnius P hilippici. Applico
ergo Numeratori tres cy£i.as>que oeincic
diuido per denominatorem, & prodit
pro primo Quotiente 4,-continentur er~
go in data fra&ione quatuor decims v-
nius Philippici > qui cum fitjo ahium,
vna pars eius decima erit 5 afles^quatuor
ergo decims funt 20 affes. Deinde pro
fecundo Quotiente prodit orquod ergo
amplius fuperefl: non eftparscentefima
Philippici iiue dimidius affis. Iterum v e-
ro fi promoueam
diuiforem Quoties zprP oo/DCM
cft o vnde quod fu- ? zT 7 T\ 4- o o
pereft non eft pars

milleiima Philippi- ^ .

ci qus proinde negligi poteft; daoun-,
tur ergo lingulis militibus 2.0 aifes prs-
ter Philippicos integros, & reliquum
negligetur; nam non fuperiuntnitiio

aifes in 317 diuidendi .

Traxi s II 1.

Reducito diuerfarum fractionum ad eandem
denominationem .

Datis duabus minutijs ad eundem de-,
'nominatorem reducendis 3 multiplicen-
tur denominatores inter fe& prodibit
communis denominator ,• numerator
vero vnius multiplicetur per denomina-
tcre alterius, &prodibunt numeratores
minutiarum , ad comunem denomina-
tionem reductarum. Vtdatis minutijs
r>f multiplico 3 in j & fiunt j 5 comunis
denominator. Deinde duco i in 5 &fiut
10 & 4 in 3 quas fiintiz. His ergo nume-
ratoribus i o & fi fupponatur commu-
nis denominator ij,exiftent minutie re-
ductas ad eandem denominationem j-f
& fj, quarum prior priori dat£, pofte-:
rior pofteriori, tequiualet.Iam vero col-
legis in vnum numeratoribus 10 & ia vt
fint xi, fi fiipponatur denominator co-
munis fiet minutia^asquiualeas vtriq»
fimulfiimptx.

Quod fi dentur tres aut plures diuer»,
^eminuti^ reducentur primumdum ex

I NSTtTVTIO, €l

illiraTTeuMem denominatorem & pro-
ducte xquiualentes colligentur in vna?
deinde vero tertia reducetur ad eandem
denominationem, cum hac conflata ex
duabus procedentibus,- eodemque mo-
do pergetur ad quartam, & alias fi plures
effent. Vtfi dentur tres minutio f, f, f
reducentur dua; priores ad eandem de-
nominatione 6e prodibit minutia -jf- 35 ~
quiuales vtriq,- vt iam modo docuimus.
Reducantur ergo ad eandem denomi-
nationem -f r & f prodibuntq; oquiua-
lentes quarum colledhis nume-

ratoribus fiet minutia fff oquiualens tri ?
bus fimul minutiis datisjeamque fi fieri
reduces ad minores terminos
per prasini l»

Quod fi etiam fcire voles quot partes
huius communis denominationis 105
contineat prima minutia, Se fecunda fo-
litarie fiimptg diuide 105 per denomina-
torem alterutrius & Quotiericem multi-
plica per eiufdem numeratorem fic
enim prodibit numerator fradionis
ssquiualentis . Vt 105 diuido per 3
& fit quotiens 5 j» qui multiplicatus

asquiualentis prims qus eratf . Subtra-
cto deinde numeratcre/oexi^ nume-
ratore vtriufque fimul fiimpts, manent
§4 pro numeratore minutias ri?qus s-
^ quiualet fecunda dats. Habes ergo
tres minutias Teparatas t§t ftr II? qus
asquiualent totidem datis f f % & huic
• conflata: ex omnibus ftf°

Praxfs IV.

HeducUo integrorum ad datam jraBionem.

Numerus integrorum multiplicetur
per denominatorem dats fra&ionis &
prodibit numerator minutis, ad quam
mtegra funt redu&a ; cui fupponetur
pro denominatore idem quierat deno-
minator datas minutis , Vt fi 4 integra
ad partes quintas redigenda fint,multi-
plicabitur 4 per 5 & fient ao, cui fi fup-
ponas 5 pro denominatore prodibit mi- •
ijutia y- squiualens 4 integris.

Institvti©*

R A X I S V.
EtduciidfracUanis ad integra . »

«*

Si. fractio maior iit vno integro, re-
duci poteft ad integra hoc modo. Nu-
merator per denominatorem diuidatur
& Quotiens , erit numerus integrorum
in fradionecontentus:vt minutia 2 -°- re-
ducetur ad integra diuidendo 10 per
prodibunt enim 3 integra cum | feu f*

De Additione & reliquis circa fractionem
cferammbus.

C a p y t IX.

Pr AXI S L
Additio fractionum *

S I fraftiones iint eiufdem denomina^
tionis collectis in vnnm numerato-
ribus s & fuppofitc eodem denominato-
re perfeftaeil additio, vth? furit f.

Quod ii proponantur fractiones di-
uerfe denominationis , reducetur prius
ad eandem per praxim 4 cap. prsc.
hec additio vt iam diftum eit.

Examen fit per fubtraftionem vt iffi

Prdi

©

integris numeris.

Subtractio fractionum.

I N fractionibus eiufdem denomina-
tionis fubtrahatur minor numerator
ex maiore, &perada erit operatio. Vt
ffubcradae ex r relinquunt f.

Quodfi dentur fradiones diuerfifede-
nominationis , e% prius ad communem
redigentur.

Si numerus integer cum addita fra-
ctione, aut folus integer numerus fub-
trahendus fit ex minutia, prius ferit re-
uocandus ad fractionem eiufdem deno-
minationis cum ea, ex qua fieri debet
fubtradio . vt fi fint fubtrahenda z \ ex
sf~» numerus i redigatur in fractio-
nem ?& additis tribus funt J 4 -qux redi-
gantur ad eundem denommatorem
cum— > & poftmoduin fiat fubtradio.

Si fradio ex numero integro fubtra-
henda fit quat maior fit vno integro , re-
ducatur ad integra,cum vero fradio mi-
nor eft vno integro vnitas aliqua nume-
ri ex q uo facienda eft fubtradio refolua-
turinfradionem, &fiat pofteafubrra-

\ In st i t v t i o. 6 j ,

cii^P^rlv^nt fubtrahendx ex § fra-
4tio reducetur ad integra 3 j :detratlis
ergo 3 ex 8, manet j, minutia deinde
auferatur ex 1 refoluto in partes tertias,
hoc eftjCX i tollatur * & manebunt f.hijc
vero vnitas ex qua pofterior fubtra&io
facra,auferendaeftex j. Quare fi ex 8 au-
ferantur j° feujT- manebunt 4 ?.

Examen per additionem fiet Vt in in-
tegris»

PrJ X I S III.
<34ultfphcaiio ftaBionum.

Multiplicentur inter ie tam numera-
tores, quam denominatores , nam pro-
dudci numen erunc numerator & deno-
minator FraCtionis pSr multiplicatione
producta vt fi dentur multiplicanda: f
peri prodibit nam a in 4 fune 8 pro
n'umeratore,& 3 in^funtij prodenomi-
narorc.

Quando integra cum adiundta fra-
ctione fune per traCtionem multiplican-
da, ea ad fradtionem adherente reduca-
tur Quando autem folus numerus inte-
ger perfrictionem efi: multiplicandus»
-.t. . E time

(5$ Arithme. PRACTib y I
tunc numero integro iup^ffatfflr vni- i
tas, vt fiatquafi fractio, & multiplicatio
procedet vt prius dfttum eft. Vt fi fint
multiplicanda 6 per f-fie ftabit exem-
plum r per i-, & iuxta praximiai» dictam
prodibunt hoc eft 4 integra.

Neque mirerequod ex multiplicatio*
ne per minutiam prodeat minor nume-
rus quam id quod fuerat multiplicanduj
vt quod ex 6 in f prodeant A- leu 4 inte-
gra, qua; funt minus quam multiplican-
dus 6;id enim neceiTe eft euenir e quoties
fit multiplicatio per fractionem , qu£
vno integro minor eft. Nam fi 6 multi-
plicentur peri, productum eflet 6, qua-
clo ergo 6 multiplicantur per 4, qute funt
minus quam 1, neceffe eft vt productum
firminusquam 6. Quod fi fractiomul-
tiplicans maior eflet vnointegro , tunc
etiam prodibit numerus maior eo quo
multiplicatur vt 6 multiplicata per As ut
hoc eft 8 integra.

Pr a jl 1 S IV.

Vim fio fraBionum.

Expeditius fiet diuifio minutiarum fi

\ ad*

v ...

s t j T v T I O. Q'

ad multipjricatione reducatur boc mo-
do.Commuten. cur termini diuiforis,hoe
eft Numerator fiat denominator Sr con-
tra., Nam tunc fi fiatmulcipiicatio vt do-
cuimus praxi prec. ahfoiuta eft diuifio,
V t fi fint diuidenda; ~ perf ex diuifore
commutatis terminis fietminutiaf ,de-
inde operando iuxta praecedentem pra-
xim .t in^ funti8,&3in 4 fime n,-fi er-
go diuidantur ,^-per| Quotiens eritp?
Examen fiet per multiplicationem.
Neque rurfus mirum videri debet,
puod in diuifione fractionum Quotiens
fit maior fractione diuidenda ; idenirn
fieri necefle eft j cum fradtio diuidens
minor eft quam diuidenda,* tunc eninx
pluries quam femel diuidens in diuiuia
continetur. Quare quotiens erit plufi
quam vnitas,-fiquidem Quotiens omnis
indicare debet quoties diuifor in diufi
dendo contineatur.

Traxis VI L

Quando numeri integri aut foli, auc
cum tractionibus occurrefit in diuifiona.
minutiarum,- reducentur ad fractionem»

E % eoffi-

68 Arithme. Pb.a
commodae denominationis »Vt apparet
in varijshifce exemplis .

Collocatio Quotiens,
exempli.

f eu §. Integra per
1 ’ j 5 fra&ionem,

lik 2 feu i -^.Integra per
integra cum
fraftione..

l Fraftio per

integra.

IV-: per -Mifr &« F ;5

I 6 per i

II 4 P er2 l

III ^ per iU-1

V 5f per |

VI 1 1 per 3;

integra cu
fraftione.
feu 7 -f.Integra cufe
3 5 i 9 ' fractione,

1

i 4 i zS

i

1

yiljl per 4 i? &

per fractio ■

nem.

Integra cum
fratrione ,
per integra
cufra£tion®
Integra cum
fra&ione,
perintegra.

Inpoftremo exempli i rmaems^m-

*

_ Institvtio.
tegroruife^iuidedus effer magnus» prius

effent diuidenda integra per integra, &
fi quid maneat poft diuifionem,hocre-
foiuetur in fradionem ei quas adiungi-
turfimilem» & reliqua fient iuxta exem-
pla pofita.Yt fi effent diuideda 935 % per
3 prius diuidatursjj per 3 & erit Quo-
tiens 311 manebuntque a poftdiuifione,
qus refoluta in fextas, qua: adherent di-
uidendo; facient cum illis Has diui-
de per 3 & erit Quotiens J-f-. Quare fi
5>35 1 diuidantur per3»totus Quotiens e=
rit 31 1 fg-feuf .

Bode modo procedes fi in penultimo
exeplo numeri integroru effent magni.

T>e fr&Bionibus fraciionum.

C a p v t X.

Q Vi a non folum integra in partes
diuiduntur» fed etiam partes ipfig

in minores patticulas;hinc non tantum
fradiones, fed etiam fradiones fradio-
num funtjfeu minutiseminutiarum^ Du-

pliciter autem fradio iecari poteft. Pri-
mo vt vna tantum pars fradionis in mi-
nores par^ culas diuidat.ur 1 vt fi ex dua-

E 3 bus.

jo Arithme. PRAcna^
bustertijs vna diuidatur in mias fecun-
das. Hqc dici poffet Fractio Partis, in qua
frangitur non tota fractio, fed eius pars
■ynica. Secundo fi omnes fimul partes
fractionis diuidantur , vt cum dico vna
fecunda, duarum tertiarum & hxc dici
deberet Praelio Fractionis. Differunt aute
valore hx minutiarum fraftfones , nam
fi aureus verbi cauffa afiium 6'odiuida-
tur in tertias partes feu florenos, ex
vna tertia feu fioreno fumantur dux
quintae, supti' erunt affes octo^Sc hxc erit
Tractio Partis: at fi fumantur dux quint2
ex duabus tertijs vilius aurei accipietur
x6 affes } qu te erit tractio totius Fractionis .

Porro quamuis valore non.pa.rum dil-
crepent htefraffiones modo tamen feri
bendi non differunt j quare ex fubiecta
materia difeerni oportebit antracao
partis, an vero fractionis fit tntelligenda.
Rarior tam e n e fi: vfus fractionis qua to-

tafraffiodiuiditur, vnde apud Arithme-
ticos, pleruqae fractio partis lnte.hgen-
da eft, nifi aliud indicetur.qualis io.ee re-
manere ex diuifione numeri integri cum
fractione, per numerum integrum. _

•V -Jn -Qf S t I f v T I O* ^ 7 X
SfcverMdet icribi fractiones fractio-
nu, vt in prima tantu interieratur linea
& inter fta&iones reliquas punitum fig-
netur hoc modoj.| quae fi fit frattio par-
tis fignificat vnam fecundam vnius e tri-
bus quartis . Quod fi effet rradtio totius
fractionis figmhcarec vnam fecundam,
trium quartarum. Hsc vero i.|.|fi fu-
matur vt feCfcio partis eft vna fecunda, v-
nius e trib^quartis suptis ex vna quinque
fextaru.Sivero fumatur vt fraCtio totius
erit vna iecuda triu quartarii ex $ fextis.

Quando igitur fiuefractio partis, fiue
fractio totius fractionis minutia: adhs-
refeitj priuiauam vel additio vel alia o-

peratio fiat circa minutia illa, FraCtio fra-
ctionis vel ad fimplice minutiam reduci
debet, veladdi ad minutia cuius eftfra-
ctioquod vtruq,- mox docebimus,- pri-
mo quidem de fractione partis , & poft-
modu etiade fraftione totius Fractionis.
pR.iI/S L

Reductio fr&clioms> qua pars (JJMinuthe diuidi-
tur y ad fractionem fimplicem.
Denominatores inter fe multiplicem

denominator minutis

E 4 Crm

tur } & p

r- , a v thme ' Pr ac £*&4^- '

fimplicis, numerator vero erR idem qui
prius erat in prima parte fractionis . Vt fi.
detur 1 . 1 hoc eft vna fecunda vnius e tri-
bus quartis, multiplicetur a per4 &fie?
8, cui fuperponas 1 5 c fiet minutia
quiualens illi --.4 .

Quod fi fradio pluribus quam duobus
membris condat , multiplica primum
denominatorem in fecundum, & pro-
dudu ex his duobus duc in tertium, &c»
donec venias ad vltimam partem fra-
dionis, eritque vltimo produdus nume=
rus denominator minutis aequiualentis,
cui addetur numerator idem qui prius,
Vt hxc minutia f-.* .* multiplicando 2 in
4 vt fiant 8 & 8 in 6 ,vt fint 4 8, reducetur
adhancfimplicem equiualencem

Praxi s II.

Additio eiujdem fractionis ad eam cuius
pars diuiditur.

Hanc additionemalij Infitionem vo-
cant, qu x fic peragitur. Denominatores^
inter Ce multiplica, vt prodeat denomi-
nator nous minutis: Numerator/ vero
habebitur fi denominator prioris minu-
tis in nominatorem pofteriof-s ducatur
4l ‘ 5cnro=

.v, _ \ . N,S T X T V T I O, 75

& produci- 3 adijciatur numerator prio-
ris minutis. Vtfi velis hanc fractionem
|| addere ad f duc 3 in 5 & fiunt 15 pro
denommatore. Deinde 3 in 4 funt 1 z &Z
addito numeratorem fiunt 14 pro nume-
ratore. Fit ergo minutia {ft squiualens
F&f-.t.

Quod fi tribus aut pluribus membris
confiet fraftio , duc duos denomina*,
tores primos inter fe, Sz produ&umex
his in tertium denominatorem &c. &Z
quod vltimo prodibit erit denominator
nous minuti $.Pro numeratorc.vero nu-
merator vltims minutis ducatur in de-
nominatorem penultims., & producto
addatur numerator eiufdem penultim^,
hoc deinde aggregatu, ducatur in deno-
minacore antepenultims, &eiufde nu-
merator adijciatur nuniero produ£to»
ficq; vitra pergatur fi fuerint plura neu-
tra qua triajnam quod vltimo prodibit e-
rit numerator minutis qusfits. Vt filu-
bet hanc minutiam \ hoc eft vnam
fecundam vnius quarts ex vna fexta , 5 c
vnam quartam vnius lexte addere ad-|
duc duo 4 Sc erunt 8 5 8 in 6 Sz fient 48

dene-

74 Arithmi. P r a
denominator nous minutuSTDeinde j
in4fnnc 20 82 a-dditis 3 fiunt 13, quae du-
dain 2. funt^^ quibusaddito ifiunt de-
nique 47 pro numerator-e. Erit ergo mi-
nutiafj-squalisminutijs datis conflatis
in vnum.

Traxi s II h

Seducito fractionis qua tota fraclio dwditm,
ad [mf licem minutum.

Multiplicentur inter fe tam numera-
tores qnam denominatores? prodibunt
enim numerator Sc denominator fim-
plicis minutia: squiuatentis. Vtfi den-
tur i. v hoc eftduae tertis trium quarta-
rum, duc inter fe numeratores 1 & 3 fiet
6 numerator nous minutis. Similiter
denominatores ducantur alter in altera
& fient 1 1; erit ergo minutia ^squiua*
lens illi i. +.

Quod fi fractio fractionis conflaret
tribus aut pluribus membris, multipli-
cabuntur numeratores duo inter fe, &
produdum ducetur in tertium &c. viti -
mx enim multiplicationis produdum

T I T v T i q. J%

sfenominatbribus fiet.Vthsc f 44 squit
ualct ifti ~ feu

Praxis IV.

%_Additio emfdem jracHonis ad eam au£
dtuiditur.

Denominatores inter fe multiplicem
tur 5 1 habebitur denominator nous mi-
nutise . Deinde numerator pofterioris

multiplicetur per denominatoremprio-

ris, & huic product^addatur productura
alterum ex numeratoribus inter fem^-hi
conflatum ex vtroque erit numerator
nouse minurire. V t fi detur minutiaf. 1 &T
velis hanc minutiam addere ad | duces
3 in> & fient 15 denominator nouae mi-
nutis. deinde duces a. in 3 &- fient 1 a 5 ite
2, in, 4 &: fient 8 quod produaum fi ad-
datur priori iz, erunt 20 pro numerato-
re nouie minutiat.eritergo|nm ut i a 7 r & ~
quiualens iftis fimu! fumptis 5 8e 5 .

Quod fi minutia data haberet plura
quam duo membra tenebis eandem
multiplicandi methodum fiue in deno-
minatoribus fiue in numeratorious, in-
cipiendo excremo mebro, vt in fimili

• " ‘ ' ~ aliquo-

r* Arithme. PracticV f .
aliquoties di&um eft . Exe?!pli^au{f a /|
cientur hoc eft du* terti* quatuor
quintarum ex fex fieptimis, & quatuor
quine? fex fe ptimaru addend? ad ^;duc
3 in 5 & erunt i j, item 15 in 7 & fient 10 $■

pro denominatote nougminun*.Nunc

vero pro numeratore, 6 in 5 funt 3o,& 4
in fex funt 14, quodfi addideris priori
produfro 30. fient 34. Deinde 54 in^
funt 1 6 z , q tribus adde z in 4 fe u 8, & 8 in v
6‘feu48, fietque numerus 210 numera-
tor nou* minuti* f'-f feu 2 integra. Si
ergo duas tertias quatuor quintarum ex
fex feptimis, & quatuor quintas fex /ep-
timarum , addas ad fex feptimas habebis
duo integra.

c De regula trium,

C a p v t II.

R Egvla trium eft methodus qua
ex tribus numeris cognitis elicitur
quartus incognitus , Ab his ergo tribus
numeris cognitis dicitur regula Trium.
Dicitur etiam regula aurea, obimmen-
fam vtilitatem. Regula Proportionum
quia verfacur inter numeros proportio-

/*** nales

T N ,S T I T V T I ol f?

naleslDofp t enim datis tribus ordin©
numeris inuenire quartu , qui fe habeat
ad tertium , ficut fecundus ad primum*
Exempli gratia; Emit quifpiam z vlnas
panni tribus aureis 5 quaeritur quot vlnas
Iit empturus 6 aureis? Dantur ergo tres
numeri cogniti 3 aurei, i vina;, laurei §£
quartus qua;ritu£,nimiru numerus vina»
tum,qus veneut tribus aureis. Cumqne
iuftus emptor 8c veditor velle debeat, vt
qu£ eft proportio pretij minoris ad pau-
ciores vlnas, eade fit pretij maioris ad vl-
nas pluresjkec queftio non aliud poftu-
lar,quam inuemri quartum vlnarum nu-
merum, qui fe habeat ad pretium maius
fex aureorum, ficut fecundus, feuminoE
vinarum numerus fe habet ad primum^
feu ad minus pretium. Hunc aure quar-
tum numerum inueniemus hac praxi*

Pe axi s 1.

Inquaeftione qua; foluenda proponi'*
tur, duo funt numeri de eadem re, quo-
rum alter qui quasftionem. habet anne-
xamterti^loeo collocaridebetjalccrve»
v 10

r* ,A»ithhi; PUcnci
*o qui efl de eadem re pri^tnTScurA
occupabitj medium denique feu fecun-
dum iccuin tenebit numerus- quieftde
rediuerfa. vtm exemplo allato, duo funt
terminide eadem re nimirum de aureis
nummis, cum dico tribus aureis emun-
tur dua vine, ouot igitur ementur 6 au-
rsis^ Hic inquam duo funt numeri 3 &

6 ae aureis,& numerus 6 habet adiun-
£lam quaftionem &c notam interroga-
tionis,- quare tertio loco collocabitur; 5
vero quinumcrus eftdeeadem reprimo
Joco conftituetur j reliquusvero z vina
qui eft de re diuerfa ftabit medius, vt hi e
vides.

3 aurei, z vine, laurei? 4 vln®

P R a x 1 s II,

Duc fecundum numerum in tertium ? ?

& productum diuide per primum; nam
Quotiens erit numerus quartus qui
queritur & fatisfacit quaftioni. Vt in
fuperiore exemplo duc z in 6 & fiunt 1 a,
qua h diuidasper 3 erit Quotiens 4 atq;
hic numerus eit vlnarumqua accipi de-
bentpro 6 aureis fi dusevli^e yendun-

' tur ..

(

V

In 's t i t -V T I O, 75

tuf mbussy&eis: asquum eft enim duple
pretio , duplum vlnarum numerum
comparari.

Ratio feu fundamentum hujus regu-
las eft.quod, vt demonftrat Euclides pro.
15.7. tumquatuor numeri ftnt propor-
tionales. feu ita Ce habent vt fit tertius ad
quartum, ficut primus ad fecundum;
quando productum ex tertio in fecun-
dum squale eft produCo ex quarto in.
primum, quod fit per operationem hu-
ius regulas. Nam ex B in C fit numerus E
&exE'diuifo per A fit numerus D: pro-
ducum ergo ex D in A erit E ficut etiam
exBinC,

E

AB n C D

j % 6 4

Ex A ME N .

Multiplica quartum per primum, 82
fibonafuit operatio, prodibit idem nu-
merus qui ex multiplicatione tertij per
fecundum , vt ex 5 in 4 prodeuntia , fi-
cutex 1 in 6 ,

Io Arithmb; Practicj
De Regula trium eufcps,
Gapvt XII.

P E R. regulam trium modo explicata
fatisfit qu2eftioni,in qua quanto eft
maior nunfcrus tertius habens qusftio-
nem annexam , tanto etiam- maior erit
numerus quartus quxftioni iatisfaciens.
Interdum vero talis eft qureftio.vt quan-
to maior eft numerus tertius , tanto mi-
nor fit futurus quartus . Quo calu vten-
dum eft regula trium euerfa, in qua col-
locatio quidem terminorum eadem eft,
fed multiplicatur fecundus perprimunt
& produdum diuiditur per tertium co
tra quam in regula trium recta facien-
dum eft, vnde hec regula euerfa dicitur:
cuius vfum quado defideret qusftio fa-
tis ipfares indicabit. Exempli caufla:im-
minente obfidicne cenfentur in arce
hominum capita 2.000, & conueda eft
annona qua; ijs fufficiat ad menfes
Princeps tamen moneri curat arcis Prs-
fedum tolerandam e fle obfidione men-
fium 8 . Quxrit igitur Pradedus quot

eaoita bello minus vtilia debeat ex arce
1 emit-

I n s t i t v r r o. gr

emittere /fgu quot milites poffit alere
per 8 menfes ea annona que iufficit duo-
bus millibus ad 5 menfes. Hic terminus
tertius adiunctam habens quatftionem
eft 8 menfes. &d maior edet numerus
medum obddionis, tanto minornume-

rus prodiretjtniiitu, quialipofsut 8me-
fibuSj atquemic numerus pro quarto ter-
mino queritur. Vrendum ergo regula
trium euerfa, & terminis rite collocatis.

5 menfes 5 2ooo tnilites>8 menfes? ‘250 militem
Multiplicetur primus numerus per fe-
cundum &prodibuntiooooquinume-
rus diuidatur per 8 & Quoties erit 1250.
Poteft ergo Pratfedlus fpatio 8 mendum
alere fua annona milites 1 1 j o quem nu-
merum dauferas ex aooo.manebutyjo
capita dimittenda ex arce.

^De Regula trium compo/ita .

Capvt XIII.

R E g v l a trium compodta non eft
aliud quam dmplex fepius repetita,
vtd quis petat; cum conuictores duo
foluant hebdomadis 4 florenos 1 6 , qua-
* F tum

8» AU THME. ?RACTtCii

tumfoluentconui&oresj, hebdomadis |
«5?Qjia hic plufquam tres termini noti j.
funt, e educendi erunt ad tres,aut pluries
vfurpanda regula trium. Primum igitur
ex quinque terminis datis , ille qui fclus
efldevnare, ponatur pro fecundo ter-
mino ; vtrimque vero ponatur qui bini
funt de eadem re; vt in exemplo allato,
quifolus e fide florenis efli6;medius er-
go conftituetur hic numerus & vtrinq;
collocabutur bini qui de eadem re funt,
vthic facium vides. Deinde fiet opera-
tio regula: trium inter tres terminos fu-
periores, multiplicando 1 6 per5,&diui'
dendo per z ; prodibit enim pro quarto
termino 40, qui collocetur pro fecundo
termino operationis fecundae, faclaque
rurfus operatione regula: trium prodi-
bit quotiens 60, & totidem florenos de-
bebunt foluere conuiflores 5 hebdoma-
dis 6.

Coriu,

Flor.

Conu.

Flor.

2.

16.

5 ?

40.

Hebd,

Hebd.

4 -

40.

6 i

, v *o.

Bre-

I g S T I T V T I o. ^ 83

Breuiu^ eadem quxftio abfoluetur
multiplicdhdo incer te terminos,qui pri-
mo loco cknftituti fune, & fimiiiter eos
qui tertio; tum enim vnica operatione
regulas Trium res conficietur: vt in ex-»
emplo datqj multiplico z conui< 5 tores s
per mimerqrn hebdomadarum 4 ,8c fiuc
8 pro primo termino. Similiter 5 conui-
ciores multiplico per hebdomadas 6, &£
fiunt 3 o pro tertio loco. Medius vero co-
ftituetur terminus 1 6 floreni & facta o-
peratione regulas trium prodeant 60
florem vt ante.

8. 16. 30? 60.

Atque hs praxes altera alreri erunt
examinis loco.

De Regula Societatum.

Capvt XII1I.

R Egvla Societatum eft qua com-
mune quidpiam pluribus diftribui-
tur pro rata portione . Eius vfus eft inter
mercatores,auiplures pecunias in com-
munem burfam conferunt: vnde poftea
fi quid lucri emerfit aut damni finguli
quod equum eft lucri aut damni perci-
ti Fi piunt

8+ Akithme. Practicj?
piunt pro rata portione pec^nue quam
in commune periculum excoluerunt.

PR AXI S I.

Collige in vnam fummam, omnem
pecuniam, quas incommune collita eft
ab ommbusjnam hqc erit p Sp primo ter-
mino regula; trium: fecundes erit lucru
vel damnum commune ; tertius pecu-
nia a lingulis collata. Deinde operando
toties per regulam trium quot funt rum-
ina; colla tre a lingulis mercatoribus
prodibit Ungulorum lucrum, vel dam-
num quod quaerebatur . Exempli gratia
linttres mercatores, quorum primus m
commune contulerit aureos 1 16> iecun-
dus 244, tertias 17 1; & ex pecunia illa
fac prouenifle lucrum aureorum 400.
Queritur quod fit lucrum Ungulorum.
Colligantur in vnam fummam pecunia:
collatre, eritque lumma 652. aurei pro
primo termino, reliqui verocoliocabu-
tur iuxta antedidla vt hic vides.

. Cz 1 6? 03 65I.

' 400. <M4- ? Fiunt< 1 54 frt

£172.? 1 o 8

Pra :

I ?# S T. I T V T I o. 85

R A XI S It

Quod fiuiuerfitas temporis interce!»
ferit quo quifque mercator pecuniam
reliquit in focietate, eius merito ratio
habenda eft|T unc igitur antequam col-
ligantur in Jnum peeunije Ungulorum,
multiplicenturper tempus quo quifque
habuit pecuniam incommuni burfa, &:
tuc demum fiat additio, cuius fummae-
rit primus tterminus; fecundus erit lu-
crum commune, tertius pecunia cuiuf- ___ , .

que multiplicata per fuum tempus ;
fafta operatione vt di&um eft praxi fu-
periore, prodibit lucrum fingulorum.

De Regula Alligationis .

C a v v t XV.

D Ocet hxc regula res varij pretij aut
alterius menfure,communi pretio
aut alia menfurasftimare; quod dici fo-
\ctpretium medium .Exempli gratia : V ult
Princeps monetam cudere , offertur
argentum duplex, impurius vnum,ex
cuius vnalilpra pollent cudi quindecim
nummi affidm purius alterum ex cu-

ius x

»

*

SS Arithmi. P&aotic^ '

ius vna libra conderentur nu/nmi quin-
decim, affium finguli 36. Vr.’ 1 et autem
Princeps exhoc dupliciargentoitamif-
eeri izooolibrarum.vtex vna cudipof- ,
fint raummi quindecim, affium 30. Hoc j
eft ergo pretium coromunqdeu mediu, |
ad quod vtrumque argentugi eft redu-
cendum.

Pr AXIS 1.

Conftituantur pretia minora fub ma-
ioribus , aut contra & alligentur snter
fe,- hoc eft exceffus maioris lupra me-
dium, collocetur ad latus minoris , &
cotra defectus minoris ponatur ad latus

pretij maioris. Vtin exemplo 3** 2

allato in quo pretium mediu 30
eftjo, maiusj^, minus iB, ex-

ceffus maioris qui eft 6 ponetur ad latus
minoris &de£e<ftus minoris qui eft 1 ad-
fcribetur ipft maiori vt factum hic vi-
des.

Traxis II.

Differentias pretiorum , hoc eft tam
exceffus quam defedus a pretio medio,
colligantur in vnam fujnroWn propn-

I S T I T V T I O. 87

mo termino regula triumffecundus ve-
ro erit rdibredigenda ad commune pre-
tium, tertius fmgule differentis pre-
tiorum ,• iterabicurque toties regula triu
quot fuerint precia diuerfa. Vtin exem-
plo noftro fimraa differentiarum eft 8 ,
res ad cojitmine pretium redigenda
12000 librarum argenti, ita ergo ftabit
exemplum,

. , „ Ci? 5 ° 00 Kl>* putioris

Summa 8, tiooo.hb.0aantu*c

co hb. impurions

Quod fi Princeps non prqfctibacnume-
rum librarum miicendarum, ied petat
tantum qua proportione mifcebda (it
vna libra, ftabit exemplum vt prius mu-
tato termino lecundo.

_ -- f i? |feu| purioris.

Suma.8,1 libra. cuaiu"< - | f ,. r . ■

^ 1 l. 6?-|teu^ «upurioris.

Debet ergo ea proportione naifceri ar-
gentum vtcum ponetur vna quarta pu-
rioris s admifeeantur tres quatts impu-
rioris argenti.

T>raxis III.

Quando plura erunt quam duo pretia»
varie inter fe colligari pofiunt permuta-
tis differeiitijs; dummodo vnumquod-

F 4 que

88 Arithme, Pracv,tic^e
quodque precium vt miniorum femel
alligetur, plunes enimvnurdbliigarini-
hilvecat. Obferuabis tantuli vt maius
femper cum aliquo minori, numquam
autem, vel duo maiora , vel^duo minora
medio pretio, colligentur ffiterfe, Vtii
Principi volenti fundere tormenta bel-
lica, offerantur varia eris genera, & vilio-
rum metallorum, vnum cuius libra fit
affium j, fecundum 8, terciumi3, quar-
tum 14, quse velit ita mifceri vt libra fit
affium io,- collocabuntur ordine pretia»
quas varie poflunt colligari.

/^ 5-4 /^-4 /,.*

' f 8 . X (A 8 . 3 * 4-fiue 7- Vs. 5

I0 , : TJ Velfic.10 Vitiofa.io

IV 1 !' 1 V\ } 3‘ z /9-4

V 14 -5 V 14.2. S.fiue. 7 . v4 5

Cum plus de aliquo genere volemus
mifceri.pluries tantum erit alligandum,
vtin fecunda colligatione plus de fecun-
do & quarto metallo accipietur, quia
maior differentia illis adiacet quam ex-
teris. Vitio fa autem eft colligatio tertia
quia in ea duo fimul maiora alligantur
&duo fimul minora, quod vtrumque
vitandum eft. * t

Obfer-

I H^TITVTIO. 89

Obferuabis etiam cum idem genus
pluribus a-|js alligatur, differentias plu-
resin vnunfdebere colligi, vt vides fa&u
in fecunda\lligatione. iuxta quam ita
perficietur templum.

Suma DifFeJetiaru 4? fa
zo.tlii.quatu

2?

2.0

7 i T&

Examen,

Examen fiet per aliam operationem
regul« trium: nam fi pro primo termino
fumatur menfura cuiufque generis , &
pro fecundo eiufdem pretium , pro ter-
tio, portio iuxta quam vnumquodque
mifcetur,prodibut pretia cuiufque por-
tionis, qu« in vnum collecta «qualia e-
runt pretio medio, fi bona fuit operatio.
V t in exemplo mox allato, Dicjvna libra
primi metalli eft* affium, quanti erunt
Scinuenies efTef°- fiue vnius aflis ., 1 -
tem 1 libra fecundi eftB.quanti —• vt c ~
rit~boc eft 2 j®- affium. Amplius 1 li-
bra terrijieft 15 affium, quanti f-SC
. erunt

-p o Arithme. P r a f t i c ^

Se erunt |l fiuei rs affis.Qenique i li-
bra quarti eft 14 quanti 5 yte inuenies
effe Io hoce(l4 affis,quavomnia pre-
tia fi in vnum coiiigas efficientur afTes
io, quod erat ftatutum pretium com-
mune.

. .

Ve 'Regula falfi (imMicisj,oJitionis.
Capvt XVI.

D Ocet regula falfi ex fuppofitione
alicuius numeri qui re vera quz-
ftioni nonfatisfacit, numerum quaefitu
inuenire qui foluat propofitam quseftio-
nem; quodfit-beneficio Regule Trium,
feu Proportionum. Soluuntur namque
per hanc regulam quaeftiones omnes,

quorum termini dantur in certa propor-
tione inter fe coniti tuti, & quorum pro-
portio in ipfa quatftionis propofitione
exprimitur.

Quando enim datur vel totus nume-
rushabes fein certa proportionead par-
tem incognitam, vel pars uotx propor-
tionis ad totum incognitum ; accipio
aliquod totum cognitu m&trefoluo m

par-

I N * T I T V T I o; 9 S

partes eiufidem proportionis cuius funt
ilis } qu^ln quadiione exprimuntur .
Tum vero Ax toto &: parte numeri cog-
niti deuenickn cognitionem, vel partis,
vel totius inlpgnitijfi enim queritur pars
incognita, fotx tamen proportionis vt
pars 'quary alicuius numeri, pono pro
primo termino regula: trium , totum
cognitum 6 c pro fecundo partem da-

tx proportionis, pro tertio vero torum

ouod datur in qusftione, & operando
iuxta regulam trium neceffario prodit^
pars ante incognita,-quandoquidem per
hanc regulam prodit 4 terminus le ha-
bens ad tertium, ficu c fecundus fe habet
ad primum . In exemplo res erit mam-
fefnor. Queritur numerus cuius qua-
druplum fit 36. Hic datur totum notum
3 6 ,&c qusritur quis numerus fi t eius pars
quarta. Pono ergo pro primo termino
totum aliquod cuius pars quarta mihi
nota eft, puta 2,4 cuius pars quarta eit 6 .

& dico fi 2,4 pro parte quarta dat 6 quid
dabit 36? & habetur necefiario pars ante

incognita, quia -quartus terminus qui y

prodibit fe habebit ad 3 6, ficut 6 ad 2- 4 ^

5?2 Arithme. Practticje.
vt docuimus cap. ii. fed 6 efcpars quar-
ta ipfius 2.4. ergo&terminur quartus e-
ric pars quarta ipfius 36. Itaaergo ftabit
exemplum. ie

a 4 dant 6. 56? ep.

Quodfiinqusrftione det rparscog-
nita& qusratur eius toturt. • tuncpro
termino primo poneturpars totius alte-
rius cogniti , & pro fecundo totum co- .
gnitum, pro tertio pars data in qugftio-
ne; & pro quarto prodibit totum inco-
gnitum. Vt fi qusras. Quodeft quadru-
plum numeri <>?Dicam;6 eft quarta pars
numeri 14, cuius quarta erit.?'

6 dat Z4. 9? 36,

In hoc igitur polita eft tota vis regula:
falfi.vt ex Tectionibus certe proportionis
numeri cogniti j per datam fimilem in
qu^ftione proportionem deueniatur in
cognitionem totius,ve! partis inaltero
numero incognita. Quapropter cum
proponitur qn^ftio diligenter atteden- v
dum eft,vt profuppofitione accipiamus .
numerum qui commode & fine fraftio-
num moleftijs admitterepoifit Tectiones
dus proportionis, quxexprtmitur in

aUcT-

*

6

I N 9 S T X T V T 1 o,' 9 i

quasftione. Verbi caufia Quidam in iti-
nere Rom/fmexpendit r & \ ius pecu-
nia, Sc fup|rfunt illi 5 6" aurei; quxricur
quot ille asreos habuerit. Querendus
ergo mihi ntlnerus, qui comode capiat
diuifione inJtarres tertias &: fextas, qua-
lis eft 24, 3 ^Bralij. Ponam ergo 24 cuius
*-eft 8, & 4, qus ambre parres fi au-

ferantur a toto 14 manebunt 1 1, longe $*■
ergo abfumus a folutione quafttionis,
quae ponit manfilTe } 6 . Quia tamen ha-
beo notum totum 24, fecium in partes
eiufdem proportionis cuius funt illxy
quas proponit queftio > 8c icio poft illas
fe&iones manlifle 12, fic deueniam ad
numerum quaifitum.Si 1 2 manferunt ex
toto 24 poft ablatam \ & \ ,ex quo toto
pofifimilem ablationem manebunt 36.

Dic ergo: 1 2 ex 24* Exquo 36 .' 7 i *

Na ii ex 72 aureis expenderit f que eft
44, & i quas eft 1 2,'manebut illi 36 aurei.

Aliud exemplum . Miles gregarius»
Decurio,& Centurio partiri volunt fpo-
lia 245 aureorum, ealegevt Decurio du-
plo plus > & Ceturio triplo plus accipiat ^
quam MiDs . Hic fumendus numerus
* qui

$4 As-ITHME. PxACTlCi
qui facile multiplicetur in duplu&trh
pium: Ponamus ergo militep .accipere 6
aureos, quare Decurio accipit 1 2, & Ce.
turio omnes fimul ac ; 'eperint 36,
cum tamen habeant a^cliuidendos.
Dic ergo

Si 3 6 dant Aquatu dabur 2 4 '> 40 B feu ~

Nam fi miles accipiat 4^4 Decurio
habebit 80 Centurio 120 J ~ qui
numeri fimulfumptifunt 245.

Non eft tamen diflimulandum huiuf-
modi qurefiiones fepe expeditius polfe
folui quam per regulam falfi . Vtin po-
ftremo exemplo fi miles accipiatur pro
I. Decurio pro 2. Centurio pro 3. vt om-
nes fimul fintf? & per hunc numerum
diuidatur .firnima propofita prodibit
Quotiens 40 ~ pro militis portione, ex
qua reliqus definientur. Item in penul-
timo exemplo cum illx expenderiti&
i fax pecunias, reducantur hs fradiones
ad vna fient f-fiue HEx pedit igitur di-
midia fuoruaureoru & cu reftent 3<sfine
dubio habuit/2. Hac ideo monuerim,
quod fepe non fit opus recurrere ad re-
gulam falfi, cum quis diligenterattendit

teno-

I S | T I I V I i oi' 9$

tenorem quatftionis.

ExplieajSpus igitur vim atque vfum
regule faUigli qua vnicus ponitur nume-
rus adalteri^ninueftigandum.quxideQ
dicitur regum falfi fimplicis pofitionis.

Eft enimalitjpuplicis pofitionis per qua
omnes qugf^ones folui poliunt, qusee-
nodantur pir fimplicem politionem, Ss
multo etiam plures de qua capite le- v
quenti . Quibus vero in quteftionibus ^
manca Et fimplex politio, vcpropteres
ad duplicem fit recurrendum hoc loco
difcernamus } id enim video interelTe
non parum & oblcure admodum autim-
perfe&e traditu hactenus. Diximus ini-
tio regulam fimplicis pofitionis totam
niti regula Proportionum. Affirmo i-
gitur tunc cfie vcilem , cum in qusftio-
ne exprimitur proportio terminorum,
vel inter fe,vel in ordine ad numerum in-
cognitum qui queritur . Quando vero
ponuntur terminiinquteftionequorum
proportio non exprimitur,huic quqftio-
ni n5 poteft fatisfieri, per fimplicem, feci
duplex pofido elt adhibenda. Exempli ^
•cauda,- fiquis quaerat numerum ex cuius

dimi-

Authme, Pra^tic^
dimidio ablatis 6 maneant i, non potuit
jFatilfieri perfimplicem politionem, feu
per regulam proportionunV T quia non
exprimitur proportio ipfiu.ep.vel ad di-
midium, vel ad totum nurdbru qui que-
ritur. Vnde alterum indicit n practicum
licebit colligere vt di Icern^ ^uis quando
vtendum iit duplici politione. Quotief-
cunque enim tenor quaftlionis eft hu-
iufmodi, vt numerus aliquis qui in que-
ftione datur, debeat adhiberi ad le itione
num£riquam fum politurus; tunc opus
* * eft duplici politione. Vt in exemplo alla-
to, fi velim procedere iuxta queftionem,
aftumam verbi gratia numerum cogni-
tum 24, ex cuius dimidio auferam 6: Vi-
des igitur numerum 6 , qui datus eft in
quijftione, adhiberi ad fe&ionem nume-
ri,qui ponitur ad alterum inueftigandu:
quare vnica politio & regula proportio-
num hicnonfatisfaciet,- nam vt mane-
remus intra proportiones deberent 24
diuiainon per 6 , fed per numerum qui
haberetfead24, ftcut 6 fe habet ad nu-
xneru incognitu ; deberet ergo indicari
perqusftionemqiuE fitilla proportio, &

tunc

1 N S T i T V T I <5.

tunc locum haberet regula proportio-
num. A

Quanadfgitut quaftio non fatis ex-
primit-, qua&fit terminorum proportio,
videndum e.ian ea proportio non pofi-
iit colligi ex |p qua dicuntur. 'V t quia ia
exemplo ali Ao dicitur,ablatis 6 ex di-
midioinan Jfe i,- fine dubio dimidium il-
lud eft Byfunt autem € tres quartaipfius
S.Quare fi in quaftione exprimatur, hee
proportio poteritfoiui perregulam pro-
portionum. Vt fiquaracar quis fit nu-
merus ex cuius dimidio ablatis? ipfius
dimidij 3 maneant duo . Dicam uc: Ex
dimidio ipfius 24, qua eft 12, ablatis f
manent 3. Nunc vero per regulam pro-
portionum.

'Si-j ex 24. exquo prouenient2?i<?«

Na fi ex dimidio ipfius 16 quod eft 8 au-
feratur 6 3 manebut 2, vt volebat quaftio.

Aliud exemplum. Quot aureos ha-
bet ille qui fi accipiat infuper f f

~ fua pecunia & praterea 50 au-
reos, habiturus eft aureos 3oofNon po-
teft etiam hacquaftio folui per regulam
proportionum,’ quia non exprimitur

G pra-

Ari t hme'. Pr a^ctic^
proportio ipfius 50 ad numerum inco-
gnitum qui queritur ; fiue <auia operan-
do iuxta tenorem qusftiortt, numerus
50, qui dicitur in quaoftiorej effet etiam
adhibendus ad numeruid; ponendum
per fuppofitidnem falfi: v pberet autem
adhiberi non^o, fed numerus qui feha-
beret ad numerum ponenLum, ficutfe
habet 5 0 ad numeru qui quaeritur. Quia
vero iila proportio non poteft colligi ex
ijs qua: dicuntur in quadlione, hinc foi-
ui non poteft quaeftio per regulam triu.

- Tunc vero confiderandum eft, an illud
cuius proportio fciri nequit, non poffit
(eparari a reliquo qusftionis. Dicit qu2-
ftio; fi 50 addatur ad partes nomina-
tas 3 fore aureos 300. Separentur ergo

50 a 300 poftea reftituenda: & mane-
bunt 250. Queratur deinde iuxta teno-
rem reliquas quadlionis quot aureos ha-
beat ille 3 cui fi addatur { habitu-
rus eft 250. Ponamus illum habere au-
reos 48, ac proinde fi addatur i- feu 24 '
Heu i<5: Scifieu 1 2, habebit ioo>debebat
autem habere 2 5 o. Dic ergo .

51 100 proueniut ex 4§,Ex.quo 250^20,

Na»

I N>S TITVTIO, Jjp'

Nam Gipfis izo addantur diehepar-
tes,quq fup5$do, 40. 50. efficientur 250» /

quibus fiad%ngas jo qu^ fepofueram,
prodibunt^!*». Habet ergo ille 120 au-
reos. & fic fo Sfta eft quasftio.

Duobusigj^ur hifce modis quasfrio-
nes foiui po-^runt per fimplicem poli-
tionem, quiMisalioqui adhibenda foret
duplex pofitio; inquirendo nimirum
proportionemrerminorumjquqnonfa- **
tis exprimitur, ve inpenukimo exem»
plo,-aut fi ea proportio non poteft in-
ueniri, leparando a quxftione illud cu-
ius ignoratur proportio, vtfadum eltin
exemplo vitimo. Quod fi quqftio ita fit
intricata vc neutro modo iuuaripoffi-
mus, vtendum erit regula duplicis pofi-
donis, quam aggredimur explicare.

De Regula falfi duplicis pofitioms .

■ C A P V T XVII. ^

P RoposiTAqusftione per hanc re*
gulam enodanda, accipietur quiuis
numerus commodus addiuifiones,quas
poftulatqu2ftio,vtiam monuimus, ifqj
examinabitur as facisfaciat quadtioni,
quod fi non iadsfecerit accipietur alter
G ’ - numc-

ico Arithmi; Pra-^ticJ
numerus Gmiliter examinandus; &fine
hic quidem fatis fecerit, tun^ ex duobus
erroribus verus numerus eh^ietur aptus
ad foluendam qu^ftionerr-e Nam aut er-
rores erunt fimiles,vt fit c4 m vterq ; pec,
catfiue per excefsu , fiue \ ter defe6tu;vel
erunt diilimiles, ita vt vnu?'fit per cxcef-
fum, alter vero per defectum j Quouis
autem modo peccari contigerit elicic-
tur veritas, exfcquentibus.

Pr axis 1.

JOuakcIo errores funt fimiks .

Numerus, qui primo ponitur , collo
eetur fupra in finiftra crucis parte, & in-
fra error feribatur , adiundta litera P ii
plus fumptum eft quam oportuit, aut li-
tera M, fi minus. Numerus vero fecun-
da pofidouis in parte crucis dextra an-
notetur cum fuo errore fuppofito : mi-
nor deinde errorum ex maiore fubtra-
hatur, & refiduum,quod erit differentia
errorum,ad pedem crucis notetur hic
enim numerus erit diuifor in operatio-
ne per quam quaeftio enodabitur . Col-
locatio igitur terminorum erit qualis

I N*S T I T V T I 0. TOT

hic apparet, vt prima pofitio C

fit vbi A/p %nus error vbi B, B./\-D
fecunda p d|tio vbi Cjfecun- E

dus error vfi*P«Differentia errorum feu
diuifor vbi E'|

Terminis ;¥x<rcoliocatis multiplicen-
tur numeri .bofiti per errores alternos;
hoc eft prima pofitio per errorem fecu-
dum, & fecunda pofitio per errore pri-
mum; minor deinde productorum nu-
merus fubtrahatur ex maiore, &refidu-
um quod erit differentia productorum»
diuidatur per differentiam errorum ,
quod infra crucem pro diuifcre annota-*
ri iufiimusmam Quotiens huius diuifio-
nis erit numerus qui queritur ad folue-
dam quaftionem.

Exemplum. Quamtur numerus ex
cuius dimidio fi auferas \ & * manent 8?
pro prima pofitione accipio 3 6 cuius di-
midum eft i8»exquo fublata| quxe&p,
manent 9 5 dc hinc fubiata.-eiufdem i8>
quseeft 6 manent 3, cum debuiffentad
foluendamqusftionem manere S.Defe»
cimus ergo ayeritate per 5, qu^e infra an-
noto cum litera M> quiaerror eft per de-
G z fedum

ISI A a I T H MHi Pk.A«:T I CiS
fettum. Sumo deinde pro fecunda pofijf
tione 6 o> cuius dimidium fi.

30, ex quo ablata \ manent -;,

inlliper ablata i maner^, Dl “ lor
debuiffentaute manere MRurfus ergo
errauimusper defectu & ff<toreft3,quo
errore ex primo 5 fiibtraa ^ manent i,
differentia errorum feu diutfor. Termi-
nis difpolitis multiplico primam pofi-
tionem 36 per errore fecundum 3, fiutq;
joS: item fecundam politionem 60 du-
co in primum errorem;, &: prodeunt^.
Subtraho ergo 108 ex 300 & manet 192,
qus diuido per differentiam erroru, leu
per diuiforem t , & Quotiens eft 96-,
atque hic numerus eft qui queritur &f fa-
tisfacit qu^eftioni: eius enim dimidiu eft
48 ex quo fi auferatur i quas eft 24 &;
qr^eftnJ manebut8 vt volebat qu^ftio.

Eadem plane methodus feruabitur cu
vterque error continget per exceffuni'
Vt ad foluendam eandem p.°

qusftionem, li prima poli- i.zV-7
tio li t i2o-, error per exceffum ° 1U ; lor

notatus litera P erit ^.Deinde fecundus
error per exceffu fit y-, differentia erro-
ru feudiufor erit f produftum ex.p 4 -

I k*S T I T V T I C." Tcg

aia politione in errorem fecundum fiet
$40, produ cum alterum ex fecunda po-
fxtione in eAorem primum 360 , DifFere-
tia horum productorum 4S0, quz Ci diui-
danrur per deterentia erroru,feu per di-
uifore 5 fit q-fbtiens qui numerus, vt
fupra offendam eft, fatisfacitquxftioni.
Traxi s Ii:

Jguando errores Junt diffimi/es.

Numeri circa crucem collocabuntur
vt prius,adieda litera P.vbierit exceffus,
& litera M. vbi defeffcus.

Colligentur deinde errores in vnam
fummam, & hacc fumma erit p*

diuiforjfimiliter colligetur in 7

vnum numeri produdti ex po- D d" or
{itionibus alternarim per errores multi-
plicatis, atque hxc fumma li diuidatur
per fummam errorum quotiens eric nu-
merus qusficus, Vt in eodem exemplo
quo queritur numerus, ex cuius dimidio
fublata f & f maneat 8,fi prima pofitiofic
Merror per defectu erit 3;fi deinde fecu-
da pofitio fit/<f<?, error per excefsu erit 7;
atque hi errores collefti in vnum dabut
diuiforem 10. Multiplicentur ergo 60 per

iQ4 Aa.irHM.Er pRAC^TIC^

7, & fient 420; item 180 per 5 & prodi. (
bunt 540, atque adeo fi amtf produ&a
420 & 540, colligantur in vr>m fumma |
fient 9 60, quas ii diuidas ^ e :r fumnaam
errorum 1 q Quotiens erit * 6 quem nu-
merum oftendimus quxftQni fatisface-
re.

Breuiter cum errores funf fimiles dif-
ferentia productorum diuiditur per dif-
ferentiam errorum - y cum vero errores
funt diffimiles fumma productorum di-
uiditur per fummam errorum j & vtro?
que modo fit Quotiens fatisfa&urus
queftioni.

De extractione Radicis Quadrata.
Capvt XVIII.

N Vmervs Quadratus eftqui exa-
liquo numero in feipsududo pro-
ducitur. Vt4 eft numerus Quadratus
quia fit ex multiplicatione ipfius 2 per
feipfum ;nam 2 in 2 funt 4. Item 16 eft
numerus quia ex 4 in 4 gignitur. Quin
etiam ab Arithmeticis licet improprie

1 dici-

I kItiiuio; to$

i dicitur Quadratum quia t in i. facit r*
Humeri i%ur quadrati fic dicti fune
quod vnitnes quibus conftant paribus
interualiis,' ‘c difponi poffunt, vt Qua-
drati formali exhibeant,cuius figura la-
tera omnia anguli omnes funt aqua-
les. Exemjrdi gratia fi numeri 16 quatuor
vnitates irnma fronte collocen- lS

tur,ac deinde tres aiij quaterna- ; * ; *
rij paribus fpatijs diftincti, efii- • • •
cietur Quadratum quale hic vi- ‘
fitur.

Radix Quadratadatus/ect cofta Qua-
drati eft numerus qui in fe ductus produ-
cit quadratum ;Vti eft radix quadrata
ipfius 4dpfuni autem 4 eft radix quadra-
ta numeri 1 6 &c. Dicitur autem hasc ra-
dix cofta feu latusj quia in latere Qua-
drati vt fupra ex vnitatibus conftructi,
latus quodlibet confutuitur ex vnitati-
bus radicis.

Extractio igitur radicis quadrata: eft
inuentio numeri qui du£tusinfe ipfum
producat numerum propofitum . Vtex-
traftio radicis quadrat^ ex numero 4,eft
inuentio ipfius a, quiductus m fefe gig-
nit

y

EO 6

Arithmi’ P b. a c* r i c a

Radices Quadrata,

I

4

9

t6

3 *

49

^4

8 i

; AN.au

nic numerum propofitum ^

4- Quia vero in extractio- 4 -;
ne radicis ex maioribus c'j
numeris, qui multis notis i 4
conftant, opuseftinpro- ^5
ptu efte radices & quadra- * S
ta notarum fimpliciumin-
fras>, vifum eft tabellam 8
hic adijcere earum tam 9
radicum quam Quadratorum. Non fuf-
ficit autem ad inuemendum quadratum
multiplicare partes radicis in feipfas,fed
producta toties multiplicari debet, qua-
tus eft illarum partium denominator;
vt fi queratur quadratum radicis 6, diui-
fa radice in partes fecundas 3 & 3, non
fufficit earum quadrata in vnum colli-
gere, qrnss ut 9 &p, leuiS, fed oportet
hec producta 9 &9,feu 18, multiplicare
per z qui eftdenominator partiu 3 &3;&
f uc fient 3 6 quadratu ipfius 6'. Ide obfer-
uanduin quibuluis maioribus numeris.

Prj x is I.

Propofiro numero cuius radix qua-
drata inquiritur, fcribatur punftum fiub

pri-

I M *S T I T V T I O.' ioy

prima eius nota ad dextram, & deinde
fub alijs r%is alternis, ita vt vna inter-
ijciatur n ‘ ! n notata: quot enim erunt
puncta, tot-' «em veluti erunt dati nume-
ri membrarer totidem notis conflabit
radix quad|ata, qax queritur, quando
ergo numerus notarum erit impartunc
fupra primum pundum ad finiftram erit
vnica nota, vt apparet in hoc numero
M9 84 Curn autem par erit notarum , nu-
merus , tunc fupra primum punctum e-
runtdue notsvt in hoc numero 2 ! 6o . 6S „
fupra pundum primum flmt dux no=
tx 11.

Notis ad eum modum discriminatis»
incipiatur a finiftris vt in diuifione, &
qusratur radix vniusaut duarumnota-
rum,quac fune fupra primum pundum;
cum vero none illx non erunt prs-
cife quadrat®, fumetur radix qux fu-
mi poterit maxima. H®c igitur ra-
dix inftar Quotientis ponetur in-
tra lineolam curuam,- & eadem ra-
dix inftar diuiforis feribetur fub pri-
mo pundo . Poftea vero vt in di-
uifione .fit, ducetur diuifor in Qiio-

tien-

ioZ Arithme, Praciti c a
tientem,hoc eft, radix infcipfam,- p Co ;
auctumque fubtrahetur ex fotis primi
pun^i feu membri, refiduo/aperfcrip-
to: nam radicis extractio pF:-ie imitatur
diuifionis methodum. - >

Exempli cauda . Quxritu&Radixqua- ■
drata numeri zi6o68: Signc^giturpun.
drum fub 8 &r fub alternis deinde notis,

^ Deinde quarroquse&ra- 5

dixprimi membri 21, quod *?6o6$ (4,
quia non eft perfecte quadra 4
tum, fumo ex eo quampoffum maxima
radicem, qu^ eft 4.quam noto tam loco
quotientis, quam etiam loco diuiforis.
Dico deinde4in 4funt i6 3 qux fublata
ex 21, relinquunt 5. Superfcriboigitur 5
reliquis notis con fixis; & peracta eft.pri-
ma operatio, Atqueh^c operatio prima
femei femper fit in extraftione radicis
ex primo membro, neque amplius in
progreffu reliqua extra&ionis adhibe-,
tur. Atpraxis fequens repetetur toties
quot erunt reliqua puncta ieu membra.

i iflS T I T V T i <sl 10$

Fraxis It

Totus potiens {'qui poftfecundum
membrurri Muribus notis conftabic) du-
plicetur, &'|{|roduftum fcribatur fub fe-
quenti merlbroinftar diuiforis. quera-
tur deiadejbjocies hic diuifor continean-
tur innod? fuperpoficis > &: quoties coii-
tinebitur, tantus erit futuendus Quoties
qui addetur radiciin quotiente & iimui^
fub fequenn puncto notatus adiungetur
diuifori. V t in exemplo inchoatos dupli-
co Quotientem 4 &hunt 8 , que fcnbo
inftar didiforis fub fecudo membro 560
non fub 5 fed fub ^quemadmodum iu-
betlex diuifionis.Querodeindequoties
8 in 56 Nequaquam haberi 5
podit fepties, quia tamen ( 46

non folum 8 erit diuifor fed 4 8 <5
etiam quotiens quem fumpfcro addi de-
bebit diuifori, non poflum futuere fep-
ties, fed fexies tantum. Adfcribo igitur
quptientifeu Radici numerum 6,& ea-
dem addo diuifori collocando fub fecu-
do pundto, vt vides in exemplo . Dili-
genter ergo antequam incipias multi-
plica-

iio Akitkme, Pkawic^
plicare per quotientem animaduertes
indiuifione an poftit fieri f>,btradio.
Quam ad rem feruire potefi^abula Py-
thagorica mobilis vt cap.7. decuimus.

Collocato igitur apto Qc atiere & di-
uifiore, multiplicatio& fiublqaciio facie-
da eft vt in diuifione.Vtin nWtro exem-
plo dico, 6 in 6 fiunt 3 6,qux ablata ex 60
relinquunt 24. Deinde 6 in 8 fiunt 48
,qu£ ablata ex y 2 relinquat 4:atq,- ita aN
foluta eft fiecuda operatio. Obfieruabis
aure peracta hac operatione, 4
&cuiufuisradicisaliaex-
tradione nonpoflema- ( 46

nere plufiquam duplum 4%$
radicis inuente , vt in noftro exemplo
perada vtraque, quamiam fecimus, o~
peratione non poteft manere plufiquam
duplum radicis 4 6. Nam numerus om-
nis quadratus fiuperat proxime minore
duplo radicis ipfius quadrati minoris s &:
infiuper vnitate, fi ergo poft extradione,
manet duplum radicis & aliquid am-
plius, numerus datus eft Quadratus ma-
cior ex quo proinde raaiorradix potuit
extrahi quam ea qux extracta eft-*

Tertia

I K 5 S T t X V T t ol 313

Tertia operatio &: quotquot deinceps
erunt necaffariie 3 eodem modo fienc
quo /ecut£|a . Duplicabitur nimirum
totus quoiffens & productum fub notis
fequentis rMmbri collocabitur , qus-
retur que rienis, idemque addetur diui-
fori ; multifMieahitur diuifor,& fubtra-
cHofietvt|mus. Ytin. j

noftro exemplo , au- 477

plico'45 & fiunt 92,,
qux fcribo fub tertio ^rSP- 6 % (4^4
membro, quero dein- 4

de quotientem & in- 9

uenio 4, quem adiungo tamradici» qua
diuifori.Multiplico deinde 4 in 4 j& fiut
16, quas ex 68 relinquunt 52; amplius 4
in 2 funt8,quf es 45 relinquunt 57. De-
nique 4 in 9 funt 36 , qus ex 43 relm-
quunt7. atque ita abfolucaeft excracno 3
poft quammanent772 s quxnon lune
amplius quam duplum radicis inuentae»
qua: eft 464,

Sidiuiforin fuperioribus notis ne fe-
rnel quidem concineretur, fc ribenda eft
cyfra in quotiente ( vt etiam fit indiui-
fionej&c deinde duplum quotienns feri-

bea-

Arithme. Pra^TIC^
bendum loco diuiforis fub fequenti me- '
bro.vt vides facium in exem^oadiecto.

Quod fi non poflet e- --. 2 7

tiam ex membro feque- *,‘ c «S*** ( - 4 01
ti radix extrahi j adieda
Quotienti cyfrujperada operatio vt

ap paret in adie<9:o exemplo{ t (S®

in quo radix eft 50 & ma- l i) 5
nent 30«

Si innumero ex quo fit extracuo fant
" C yfrge.& antequam abfoluatur extractio
per omnia membra nulla maneat nota
fignificatiua, addentur Quotienti ieura-
dici tot cyfrxquot fupererunt punda,
feu membra a quibus non eft facta extra*

dio. ■ ■ r

Vt de t° 000 .radix erit 100 quia lplius

4 radix efti, poftquam autem duxeris
2 in z,& fubtraxeris,nihil manebit ex 4 :
addantur ergo dus cyfrs , quia adhuc
duo membra fuperfunt ex quibus non
eft facta extradio , & res tota erit peta-
da.

Examen L -
Reijce 9 ex radice inuenta & refiduu
nota in Ytroque crucis latere, Hec inter

I }* S T 1 f v T t 6. lij

(t multiplica & ex produiSko fimulq; ex
notis, ii omx manferunt poft extradio-
nem,aufefstiam 9;reiiduo in capite cru-
cis notato '^ufer denique 9 ex radice,&
fi reiiduun£^|onrentit cum eo quod eil
in c2pitacr|:cis reda fuit operatio.

T% x a M b n 11.

Ducradieem infeipfam&: produdis
partialibasadde notas poft extradione.
remanentes, ii qu^funti h^c collige per**
additionem & redibit numerus ex quo
fada eft extradio , ii nullus error inter-
uenit.

Methodos altera, extrahendi radicem
Quadratam*

Poft extradionem radicis e. primo
membro , qu$ a luperius didis nihil dif-
ret, operatio fdcunda & reliqua dein-
ceps hoc modo fient. Radix inuentafeu,
totus Quotiens multiplicabitur perao
( nam hicnumerus perpetuo adhibebi-
tur, &c propterea diciturnumeruspecu-
liaris huius extradionis jerirqueprodu-
dum loco diuiforis, per quem notas ie-
quentis riiembri diuidetur; atque huius

H diui-

ji4 Akithme. P b. a cjt ic js, |
diuifionis Quotiens, erit radix noua
prioribus addenda. Vbitamqn obferua
poft hanc diuifionem non f^ebere ma-
nere minus quamilt QuadiC itur ? nou2
radicis feu Quotiends: adjt» vt fi minus
manferit , Quotiens feu ra>?ixnoua mi-
nuenda fit vnitate . P er har/? deinde ra-
dicem nouam multiplico dluiiorem, &
produdto addo Quadratum eiufdem ra-
dicis pofterioris, totam que iumma fub-
traho ex notis fecundi membri & per*
a&a eft operatio.

Exempli cauifa fit radix extrahenda
de 61843. Extrahetur imprimis radix de
manebunt 2, &: erit etiam radix 3 .
Hanc ergo radicem conftituo primo lo-
co interie&a lineola fubijcio 2,0 . nu-

1 — io — 40 — 4 — 160 J^Z

16 r *| 6r%4 3 (H

i-

numerum peculiariter feruicntem om-
ni operationi huius extraftionis,per que
multiplicata radice 2, fit diuifor^o, ac
per hunc diuiforem diuifis notis feque-

lis tnembri 2,1 8, fit Quoties 5, cuius qua-

Ara-

I«N s T ; I T V T t oi

dratumeftaf.manentque poil hancdi-
uifionemiolum 18,* monuimus autem
nodeberfmanereminusquamfit Qua-
dratum ojk>tientis . Quotiens ergo ieu
noua radix.y minuenda eft vnicate: & e-
rit noua raMix 4» cui fubfcribo quadra-
tum 1 6. E|l quidem paulo longior hic
circuitus^ad nouam radicem inue-
niendam, fed tyronibus fecurior , quia
non, eft periculum iumendi nimium^
magnam radicem & errandi . Per
hanc ergo pofteriorem radicem 4*
multiplico diuiiorem, 4 o &c fiunt 160,
quibus addo quadratu radicis quod eft
fiunt 176 fiubtrahenda exfecundo
membro, vt vides factum.

Amplius pro tertiamperatione totam
radicem 14 multiplico per 20 ( nam hic
numerus idem fumitur in omni opera-
tione ) &fitdiuifor 4§oper quem diui-
do 4143 notas membri

I

— 10— -480 — 8 — 58» ^4^39

^4 i!*l 6 r%tr ( 148
ti-rkc#

5iS A&ithme. P r a d t i c j®
fequentis & fit Quotiens Teu Radix no-
na 8, cuius quadratum eft 61 } Multipli-
co deinde diuiforenx4&'o p&‘' f nouam ra-
dicem 8 &: producum^ 84^ quibus ad-
do radicis quadratum 64, < J ; fiunt 9904,
quae fu b tracta ex tertio membro relin-
quunt 339 vt in exemplo vicies.

inuentione radicis m numeris non
Quadratis, que proxime ad veram
accedat.

Capvt XIX.

Q Yia raro contingit numerum cu*
ius radix inuenienda eft perfede
efle Quadratu, plerumque habetur ra-
dix numeri minoris eo qui proponitur,
vt apparuit in exemplo fupra allato. £&
igitur operq pretium videre quibus vijs
poftimus ad radicem vere propinquam
pertingere in huiufmodi numeris non
Quadratis. Et quia pro ratione fubieete
materis nue tutius eft accipere radicem
paulo maiore, nuepaulo minore;tnodos
trademus, quibus & iufto minor, & iuft°

maiordnfefibilidifcrimineradixperqvu'

latur.

Prima

I %c s T i t v ti o. r ty

Prima igitur via, qua radix tafn iufto
maior, iufto minor poffit inquiri,

eft ea qua xfi fumus in fradionibus. Ad-
jjciantur a c numerum propofitum ali-
quot cyfrarf^nbinarij, & ex numero fic
audoquatraiur radix, exquafi abijcias
tot notas, c[uot funt additi cyfrarum bi-
narij, & reliquis fradioneadiugas,cuius
numerator fint figura; abiedg, denomi-
nator vero i, cum tot cyfris. quot funt*
additi binarij,fier radix paulo minor qua
iuila. Quot fi numeratori huius fradio-
nis addatur vnitas , fiet radix iufta paulo
maior. Vtfi extrahenda fitradix de 14,

qui numerus no eft quadratus, & ex quo
fine fradione non poteft maior radix ha=
beriquamj, cuius quadratum eft 9 loge
diftansa X4. Addo igitur vnumbinariu
cyfrarum, &ex 1400 extraho radicem
37 iufto minorem , quia manfit aliquid
poftextradtionem. Quia vero adieci vnu
binarium cyfrarum, tollo ex radice 37
vnam figuram, quam pono loco nume-
ratoris, &: pro denominatote pono ij cu
vnica cyfra,quia vnicum binarium addi-*
di cyfraru.Fit ergo radix fecundaj-f- cu-
li } ius

Ilg AUTHME. PB-ACTtCiE

quadratumeft 15 -f£-, mulco nropius ac-
cedens ad numerum propofir ; )m i^.qua.
primum Quadratus* ortum {^c radice j.

Quod filubeat habere rquicem iufto
maiorem , ad fractionis numeratorem
adijciatur vnitas. Nam hamradixj -f-e-
rit aliquanto maior iufta ; h.iius enim
quadratumeft 1 4 ~~ quod excedit nu-
x merum propofitum 14.

Item fi in exemplo fupra allato cum
qusritur radix de 214068, addam duas
cyfras & queram radicem de 21406800,
qu2erit4626; fumam ergo pro nume-
ratore fractionis 6, & denominatorem
ro.fietque radix propinquior 426 ~feu
| paulo minor iufta, at paulo maior effer

lu* ..

Quod fi in his exemplis adiuncti ruil*

fentduo aut pluresbinarij cyfraru, mul-
to propinquior verne radix prodiifler. .

Hac etiam via, quod fupra indicaui-
mus , inquiri poterit radix propinqua
fradtionum quae Quadrats non fuerint.

Ducatur enim numerator in deno-
minatorem, & produdtiquxre radicem
propinquam adieftis quot videbitur cy-

I M S T X T V T I O. Iip

firarum binarijs. Htec deinde radix diui-
datur per <|enominatorem,*vel per hanc
radicem d%idatur numerator ; nam v-
troque mo *o prodibit radix propinqua
datas minutas.

Secundamethodus inquirit radicem
veras propinquam fcd femper iufto ma-
iorem, & procedit hoc modo.
Quodremanfit poft vitimam radicis ex-
tradionem, fiatNumerator,duplum ve-^i
ro radicis inuente,quam primum voca-
bimus, fiat denominator tVadionis,ha:c
enim minutia addita prims radici con-
fiituet radicem fecundam vere propin-
quiorem, Vt fi quasratur radix de 14. in-
trematur prima radix 5 } cuius quadratum
eft 9 quodvocatur primum quadratum*
fada ergo extradione huius Quadrati ex
numero propofito 14, manent j^accipia-
turergo pro numeratore 5, 6e duplum
primas radicis, quod eft 6, ioco denomi-
natoris, adijciaturquefradio primx ra-
dici St fiet radix fecuda $ 4 cuius quadra-
tum ordine fecundum eft 14 ?6 -c l uo ^
maius quidem eft numero propolito 15,
longe tam propius accedit quam qua-

H 4 dratuns

110 Arithmj. PracVic^
dratum primum 9 ex radice 3. Amplius,
filubet propius ad veram acfiedere, ex-
ceflfus Qfiadrati fecundifupr^foumerum
propofitum diuidatur per d;f pium radi-
cis Tecundse, & Quotiens afficiatur fe-
cunda? radici, fic enim fie&adix tertia
verae propinquior quam fecunda. Yt in
exemplo noftro excefius Quadrati fecit-
di 14 -—fupra numerum propofitum
' :4 j eft ipfa fractio -f’-,qu^ fi diuidatur
per duplum radicis fecundx, quodeft
7 1 fiet quotiens qua? fractio fi au-
feratur ex radice fecunda, fiet radix ter-
tia 3 im propinquior verse quam fecun-
da. Eadem via pofletinquiri radix quar-
ta proprior quam tertia, & fic in infini-
tum.

Tertia methodus priori in progredu -
fimilis inquirit radicem minorem ac mi-
norem femper quam fit radix vera, hoc
modo pro numeratore fra&ionis accipe
id quodremanfit, vt prius, at denomina-
tor erit duplum radicis primie adiecta v-
nitate; fic enim fit fradio, qys addita
primae radici dat fecundant iufto mino-
rem. vt in eodem exemplo, poftfubla-

tum

1

tum primum quadratum s» ex numero
14. manet Iqua; fiunt numerator; & de»
nominatof^ft 7, duplum fcilicet radicis
prima; 3 ,cmv\adie&a vnitate.-eft ergo ra-*
dix fecunda -l*- cuius quadratum ordi-
ne fecundum 1 3 1§- deficiens a numero
propofito 1 4»fra<3:ione . Hicigiturde-
fe&us (fi propius adhuc voles ad veram
radicem pertingere) diuidatur per du-
plum radicis fecunda; fimul cum defe- «s*-
£tu eiufdem radicis a radice proxime
maiore in numeris integris, & Quoties
adiectus radici fecunda; dabit tertia ve-
xx propriorem. Vt quia radix fecuda eft
3 - deficit a radice proxima integrorum
qua; efi: 4. defectu ~ hic igitur defeftus
addatur duplo radicis fecunda; & fient
7 j per quem numerum fi diuidaturde-
fedus quadrati fecundi qui eft ^ fiet
quotiens qua; fractio addita radici
fecunda; dabit tertiam verse viciniorem»

St fic in infinitum propius quidem repe-
tendo eandem operandi formam acce-
detur ad veram, numquam tamen ad
eam petuenietur, ;

fax A r i t h m e. Pr Acti c a

De extractione Radicis ex minutia,

Capvt XX. f

Q V/ERATVR radix tar» f, numeratQ-
ris quam denominantis, fic enim
prodibit numerator &: denominator
minuris nous qus prioris erit radix. .
Quod fi vel numerator vel denomina-
tor radicem non habet exadam , tunc
' - tota fradio radicem exadam non ha-
bet.

Vt huius minutie -f radix eftfquia
lpfius 4 radix eft 2 ,& ipfius 9 radix 3. At
quia in hac f- denominator radicem no
habet, tota etiam radix non habebit, fi-
cutnec illa J quia numerator radicem
prscifam non habet. In his tamen radix

verg propinqua inquiri poted vt m nu-
meris integris adijciendo tamnumera- ,
tori, quam denominatori parem nume-
rum cyfrarum vtfupradocuimus.
Quando vero qusretur radix integro-
rum cum adhsrente minutia, refoluen-
tur integra in fradionem annexam, vtfi
' qusratur radix de 1 z \ refoluentur m

minutiam 8 c fient - 1 - cuius radix eftr

fetf

I S S t I T V T I O ? 12J’

fcu Jt • Item fi detur radix conftans in-
tegriscum ®actione,fiet refolutio infra-
ctionem, &mmctotafra&io multiplica*
biturinfeipiipvthabeatur quadratum*
VtfiquseratJ quadratu radicis 3 1 fiet
refolutio radicis in } qus fractio multi-
plicata per&ipsidat quadratu f feu 1 z~.

C a p v t XXL -
D eextrachone Radicis Cubiat.

C Ybicvs numerus eft qui gignitur
ex du£tu numeri in feipfum r.ur-
fus ex ductu eiufdem numeri in produ-
£tum. Yc S eft numerus cubicus quia fit
ducendo 2 in 2, vt fiant 4, & rurfus
ducendo 2 in productum 4, vt procre-
entur 6 , Fit ergo cubus geminata eiut-
demnumeri multiplicatione vt cum
dico bis duo bis, gignitur cubus 8, cum
vero dico ter tria ter, produco cuoura
27 fie de reliquis. v

Nomen accipit cubicus numerus a
Cubo corpore geometnco.quod eft in-
ftar alear.claufum fcilicet fex fuperficie-
bus quadratis equalibus in hanc forma.

£24 Aeithme.

Practua
ficut enim ex du<du
laceris cfibi inaltera
latus ip 4 elligitur a
Geometris produci
fuperfxHiem quadra-
tam, &: ex ductu hu-
iusfuperficiei in ea-

dem lateris lineam conftitui cubum ita
apud Arithmeticos ex multiplicatione»
numeri in feipfum feu alterum fibi x-
qualem, fit numeras quadratus, ac rur-
fus hoc Quadrato per eundem nume-
rum multiplicato fit cubus.

Radix Cubica, latus feu cofta cubi efl:
numerus ille cuius gemina multiplica-
tione fit cubus vt radix cubica numeri 8
efl: 2, numeri 27 efl: 3 &c. Habes autem

hic cubos fimul cum quadratis proue-
nietibus ex radicibus nouem digitorum

jnfra numerum denarium.

Radices Quadrata Cubi

I S i T I T V T I

Praxis L

Extradrb radicis Cubkx proportio-
ne quadanq fit vt extradio Quadrati
Primo enim^fignantur nota; duabus fine
punito inteitedis.Deinde accipitur ra-
dix cubica quanta poteft maxima ex no-
tis primi membri, & eius radicis cubus
ex eifdem notis extrahitur, reliquo fu-
perfcripto. Vt fi cubica radix extrahen-*
da eft de 184 2 659, fignabuntur puncta &
vt hic vides. Deinde quia
ad primum punitum per- ^ v s

tinetfoiumi, ea pro radi-
ce fiurhenda eft, cumque eius cubus fit r,

1 ab 1 ablatum nihil relinquet atque ita
abfolutum eft primum membrum, qus
operatio sancum femcl fit.

PraXis II.

Secunda operatio & reliqua; facilius
fient & certius iuxta methodu pofterio-
rem extradionis Quadrate , Sicut ergo
ibi quia duplicandus erat Quotiens, ad
z adiiciebaturvna cyfra,& numerus pe-
c-ultaris illius extradionis erat 20, -ita hic
quia triplicandus eft Quotiens, numerus

pecu-

12-6 Arithmi,' Practica
peculiaris eft 3 cui adduntur dux cyfrx, '
quia dux notx inter pun&ynterijciun-
tut. Eft ergo numerus peculiariter huic
extra&ioni feruiens 300. F r t quia cubus
ex geminata multiplicatione gignitur,
hinc alter etia numerus multiplicans eft
neceftanusquieftjo.Perhos ergo duos
numeros 300 jo, in omni extraftione cu-
bica femper fit multiplicatio, ad radice
inueniendarn.Ytinprofecutione noftri
exempli. Q_uadratu radicis inuentz po-
nitur primo loco & fub earadixipfa.De- '
indeponuturadlatusnumeripeculiares
JOO, 30. Multi- Oaad.s-330-2-603 i i 4
plicatur dein- Rad * -1 ' !!_T j xtyfafyfa
de fuperiores Diaif- 330 723
inter fe 300 in i & inferiores quoq; inter
fe i o in i,quibus in vnu colledis fit diui-
for 33o;per quem diuido notas mebrife-
quecis,qux funt 842 , fitque qnotiens 1
adiungendus radicipriori.Quodfi diui-
for ne fcmel quide contineretur in notis
membri fequetis,radix eftet cyfra & no-
tanda fuo loco in radicef vt in omni diui-
fione & extradtioneradicu fird pergedu-

queadaliudmebru.Poftquaergoinueta:-

I N S T i T V T I e." i»

eitradixnoua z fcnbkurpoft numeros
P nu ^ s diipo^lcos, &fubea quadratu 4 8£
cub 9 <f.Dein.de per radice z, multiplicatur
numerus proxime antecedeQ^, & fiuc
fs° nocada p|fiequeter.Per quadratu; ite
4 multiplicatur antecedens numerus 30
&fiuntizo 3 quibus addocubuB , &om-
nibus colleftis fiunt 7z8 extrahenda ex
8423 m ane b atque 114 vt vides in exem-
plo. Quod fi tantum prodiret invkima ,
collectione vt jubcraclio non pofTet Re-
ti, tunc radix e fiet minuenda & iteran-
da operatio,ab eo loco vbi radice z, cum.
fuo Quadrato & cubo iuffimus collocari.

Sequentes deinde operationes nihil
differunt a fecunda>vt fi hoc exemnlum
lubetabfoluere.Radicem 1 z colloco fut>
Tuo quadrato /44 ac deinde numeros pe-
culiares /00 & 30. Multiplico deinde fiu,-

144 — 500 — 4J10Q — z—g <5-400
it — — — 3S0 — 4 — —1 440

< S 8

4/550 — »

87848

periores inter Ce & fiunt 4/100, inferio^
res vero multiplicati dant 360; quibus
collegis fit diuifor 435 6 o ; per quem di-
. uid®

TiS A s. i t ii m e. Practic^

do notas fequentis membri 11463 9 , & 5
2 <S f

. XXjT]9 i

( Ii*

%r

fit quoties eademq; radix 2. Sub ea ergo
coiloca quadratum eiufdem 4 3 & Cubu
8. Duco deinde a in 43 200, & prodeunt
86400 item ex Quadrato 4 in 3 60 fiunt
3440, quibusaddito cubo 8, fit fumma ;
87848 iubtrahenda ex notis fuperpofi*
tis 11463.9, manentque 26791. &ficqua-
tum fieri potuit ex dato numero extra*
cta eft radix cubica i 2 2«

Quod attinet ad notas remanentes
& minutias 3 extrahi ex vtrifque poterit
. radix verte proxima adiiciendo aliquot
eyfrarum ternarios, quemadmodum bfi
narij adijeiebantur ad extra&ionem ra*
dicis Quadrare, & reliqua infuper pro-
portione fient vt ibi pnsicriptum eft.

Examen I.

Adijciantur^ ex radice &r refiduum
in vtroque crucis latere feribatur, Idque
refiduum multiplicetur cubice 3 & ex

prer

119 Arith. Prac. 1,51.
dudo fimulque ex notis remanentibus,
fi quz fuerunt, tollatur 5, refiduo nota!
tom capi te crucis. Reij ci-an tur denique

5 ex numere, de quo radix eft extrada,

6 fi quod hinc reftat confentiteum eo
quod eftin capite crucis,recte habet ex-
tractio.

Examen II:

Ra ^in u enta multiplicetur cubice,
« producto adde notas remanentes, fi
quas fuerunt; nam omnibus in vmim
colle&s redibit numerus ex q UO hets

«frextra&icnnifi error alicubi in terue*
Serit.

finis.

0

r

INDEX CAPITVM,

Cap.i. De Numeratione. pagina?.

2 De Additione. . io.

$ De Subtrattione. ' . 14.

4 De Multiplicatione. it. ,

j De Multiplis amne per tabulam Rjthago- j
ricam. 24.

6 De Diuijione. 33 -

1 7 De Diuifioue per trbuta Pythagorica. 47.

8 Denumero fraHo. $2,

4 De Additione, & relictui, thxafraQionm
operationibus. 63 -

io Defrathonibus fractionum. 69.

n De Regulatrium.

is De Regulatrium euerfi. 80.

1 $ De Regulatrium compotita. 8t.

14 De Regula Societatum. 83,

De Regula Alligationis. 8$. .

16 De Regula falfi fimplicis pofitionis. 90.
iy De Regulafalfi duplicis pofitionis, 09 -
18 De extractione Radicis Quadrata. 104.

ip Deimetione Radicis innumeris no Qua-
dratis, qua proxime adveram accedat. 116.

20 De extractione Radicis ex minutia. 122-

21 De extractione Radicis Cubica . 123. j

ERRA:

• 1

errata:

Pag. iS.Iin. 22. lege A 135, per B 24J
ii s lege, tum hx diftantix.

3» 4 defer.

33 14 lege, Contra quatiu

3 <f 1 lege, fubtrahi debebik

40 4 dele. eft.

Ibidem in exemplo, vbi habes ^4 lege

41 In exemplo vbi lege ffii.

4* z lege, continent.

Item in exemplo fecundo vbi ^4 lege
linea vltima lege reftituentur.

43 In exemplo vbi 12 lege n .

Ibidem in exemplo vltimo vbi lege

44 linea vltirna lege reliquum.

4 $ In exemplo vbi ^rlege^i.

48 4 quem con-

Ibid. 18 autpun&o.

Ibid. 22 laminas erg o A,B,C,

Ibid. 24 colloco.

54 10 vnius philippich

5 vbi 1 lege
69 6 935 |.

7 i 3 ad f.

Ibid. 20 plura membra.

74 I5> lege, f|.

94 2® ille,

fa quem.

FINIt.

v.